Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) cắt trục \(Ox\) tại ba điểm có hoành độ \(a < b < c\) như hình bên dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

+) \(f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).

 Suy ra \(f\left( a \right) > f\left( b \right)\) (1).

+) \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {b;c} \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {b;c} \right)\).

Suy ra \(f\left( c \right) > f\left( b \right)\) (2).

Gọi \({S_1}:\left\{ \begin{array}{l}y = f'\left( x \right)\\y = 0\\x = a;x = b\end{array} \right.\) và \({S_2}:\left\{ \begin{array}{l}y = f'\left( x \right)\\y = 0\\x = b;x = c\end{array} \right.\).

Dựa vào đồ thị ta thấy \({S_1} < {S_2}\) nên \( - \int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx}  < \int\limits_b^c {f'\left( x \right)dx} \)

\( \Leftrightarrow  - \left[ {f\left( b \right) - f\left( a \right)} \right] < f\left( c \right) - f\left( b \right)\)\( \Leftrightarrow f\left( a \right) - f\left( b \right) < f\left( c \right) - f\left( b \right) \Leftrightarrow f\left( a \right) < f\left( c \right)\) (3).

Từ (1), (2) và (3), ta có \(f\left( c \right) > f\left( a \right) > f\left( b \right)\). Chọn A.