Điểm cách đều ba cạnh của một tam giác là

Gọi \(x\), \(y\), \(z\) \(\left( {{\rm{kg}}} \right)\)lần lượt là số kilôgam giấy vụn các chi đội \(7A\), \(7B\), \(7C\) thu gom được.

Do ba chi đội thu gom được tất cả \(180\,\,{\rm{kg}}\) giấy vụn nên ta có \(x + y + z = 180\).

Do số kg giấy vụn của chi đội \(7A\), \(7B\), \(7C\) lần lượt tỉ lệ thuận với \(6;5;4\) nên:

\(\frac{x}{6} = \frac{y}{5} = \frac{z}{4}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{x}{6} = \frac{y}{5} = \frac{z}{4} = \frac{{x + y + z}}{{6 + 5 + 4}} = \frac{{180}}{{15}} = 12\).

Với \(\frac{x}{6} = 12\), ta có \(x = 6.12 = 72\).

Với \(\frac{y}{5} = 12\), ta có \(y = 5.12 = 60\).

Với \(\frac{z}{4} = 12\), ta có \(z = 4.12 = 48\).

Vậy số kilôgam giấy vụn các chi đội \(7A\), \(7B\), \(7C\) thu gom được lần lượt là \(72\,\,{\rm{kg}}\); \({\rm{60}}\,\,{\rm{kg}}\) và \(48\,\,{\rm{kg}}\).

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\), có:

\[AB = BE\] (giả thiết);

\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (do \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\));

\(BD\) là cạnh chung.

Do đó \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (c.g.c).

Suy ra \(AD = DE\) (cặp cạnh tương ứng).

b) Ta có \(\widehat {BAD} = \widehat {BED}\) (do \(\Delta ABD = \Delta EBD\)).

Mà \(\widehat {BAD} < 90^\circ \) nên \(\widehat {BED} < 90^\circ \).

Mà \(\widehat {BED} + \widehat {DEC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

Do đó \(\widehat {DEC} > 90^\circ \).

\(\Delta DEC\) có \(\widehat {DEC} > 90^\circ \) nên là góc tù, do đó \(DC\) là cạnh lớn nhất trong tam giác.

Suy ra \(DC > DE\).

Lại có \(AD = DE\) (câu a) nên \(DC > AD\).

c) • Ta có \(AB = EB,AF = EC\) nên \(BF = BC\)

\(\Delta BFC\) có \(BF = BC\) nên cân tại \(B\).

Suy ra đường trung tuyến \(BK\) đồng thời là đường phân giác, đường cao của \(\Delta BFC\).

Hay \(BK\) là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\).

Mà \(BD\) là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) (giả thiết)

Do đó ba điểm \(B\), \(D\), \(K\) thẳng hàng.

• Khi \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) ta có \(DA \bot BA\)

Xét \(\Delta DFC\) có \(FB \bot DC,BK \bot FC\) và \(FB,BK\) cắt nhau tại \(B\)

Do đó \(B\) là trực tâm của \(\Delta DFC\).