$\frac{3}{4}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{2}$

$\frac{1}{2}$

1

Kéo thả các số thích hợp vào các chỗ trống

Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a = 1\). Hai điểm \(M,N\) theo thứ tự thay đổi trên các đoạn \(AB\) và \(CD\) sao cho \(BM = DN\). Giá trị lớn nhất của \(MN\) là    __ , nhỏ nhất của \(MN\) là   _________   .

Đáp án đúng là: 1 ; \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Phương pháp giải

Đặt \(\frac{{BM}}{{BA}} = x\), với \(0 \le x \le 1 \Rightarrow \frac{{DN}}{{DC}} = x\).
Tính MN theo x và tìm GTNN.

Giải chi tiết

Đặt \(\frac{{BM}}{{BA}} = x\), với \(0 \le x \le 1 \Rightarrow \frac{{DN}}{{DC}} = x\).
Khi đó ta có: \(\overrightarrow {BM} = x \cdot \overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {DN} = x \cdot \overrightarrow {DC} \)
Ta có:

 \(\overrightarrow {DN} = x \cdot \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BD} = x\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {BN} = x.\overrightarrow {BC} + \left( {1 - x} \right).\overrightarrow {BD} \)
Do đó: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BM} = x.\overrightarrow {BC} + \left( {1 - x} \right).\overrightarrow {BD} - x.\overrightarrow {BA} \)
\({\rm{M}}{{\rm{N}}^2} = {x^2}{a^2} + {(1 - x)^2}{a^2} + {x^2}{a^2} + 2x\left( {1 - x} \right)\frac{{{a^2}}}{2} - 2{x^2} \cdot \frac{{{a^2}}}{2} - 2x\left( {1 - x} \right)\frac{{{a^2}}}{2}\)\( = \left[ {{x^2} + {{(1 - x)}^2} + {x^2} + x\left( {1 - x} \right) - {x^2} - x\left( {1 - x} \right)} \right] \cdot {a^2}\)\( = \left[ {2{x^2} - 2x + 1} \right] \cdot {a^2}\)Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 2x + 1\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) ta có:
\({\rm{max}}f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 1,{\rm{min}}f\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\)MN đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(n = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) khi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\).
MN đạt giá trị lớn nhất bằng \(m = 1\) khi \(M \equiv B,N \equiv D\) hoặc \(M \equiv A,N \equiv C\).
Đáp án cần chọn là: 1 ; \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\)