-4

3

-1

4

Kéo ô thích hợp thả vào vị trí tương ứng để hoàn thành các câu sau:
Cho hàm số \(y = \frac{{{\rm{sin}}x}}{{1 + {\rm{cos}}x}} + \frac{1}{{1 - {\rm{cos}}x}} + {\rm{cot}}x\left( C \right)\). Số giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) với đường thẳng \(y = 2\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) là   __  , trong đó điểm có hoành độ \(\frac{{\pi a}}{b}\) với \(a = \)   ___ ,  \(b =\) ___ \((a;b \in \mathbb{Z};b > 0;\left( {a,b} \right) = 1)\). nằm gần trục tung nhất.

Đáp án đúng là: 3 ; -1 ; -4

Phương pháp giải

Giải phương trình lượng giác của \(y = 2\) tìm giao điểm.

Giải chi tiết

Đáp án: \(3, - 1, - 4\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\frac{{{\rm{sin}}x}}{{1 + {\rm{cos}}x}} + \frac{1}{{1 - {\rm{cos}}x}} + {\rm{cot}}x = 2\left( {{\;^{\rm{*}}}} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{{\rm{sin}}x\left( {1 - {\rm{cos}}x} \right) + 1 + {\rm{cos}}x}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}} + \frac{{{\rm{cos}}x}}{{{\rm{sin}}x}} = 2\)\( \Rightarrow {\rm{sin}}x - {\rm{sin}}x{\rm{cos}}x + 1 + {\rm{cos}}x + {\rm{sin}}x{\rm{cos}}x = 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\)\( \Leftrightarrow {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x + 1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x = 0\)\( \Leftrightarrow {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x + {\rm{cos}}2x = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x} \right)\left( {1 + {\rm{cos}}x - {\rm{sin}}x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x = 0}\\{1 + {\rm{cos}}x - {\rm{sin}}x = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{tan}}x = - 1}\\{{\rm{sin}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {t/m} \right)}\\{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi (t/m}\\{x = \pi + k2\pi \left( L \right)}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)Xét \( - \pi \le - \frac{\pi }{4} + k\pi \le \pi \Leftrightarrow - \frac{3}{4} \le k \le \frac{5}{4} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\)
Xét \( - \pi \le \frac{\pi }{2} + k2\pi \le \pi \Leftrightarrow - \frac{3}{4} \le k \le \frac{1}{4} \Leftrightarrow k = 0\)
Vậy 3 nghiệm của \(\left( {{\;^{\rm{*}}}} \right)\) trên \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) hay số giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) với đường thẳng \(y = 2\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) là 3, trong đó điểm có hoành độ \( - \frac{\pi }{4}\) nằm gần trục tung nhất \( \Rightarrow a = - 1;b = 4\)..

Đáp án cần chọn là: 3 ; -1 ; -4