Cho \(x > 0,y > 1\) thỏa mãn \(\frac{1}{2}{y^2} \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{{xy - x}}{{2y}}} \right) =  - 2{(y - 1)^2} + \frac{{8{y^2}}}{{{x^2}}}\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = \sqrt[4]{{{e^{\frac{{{x^2}}}{{1 + 2y}}}}}} \cdot {e^{\frac{{{y^2}}}{{x + 1}}}}\) có dạng \({e^{\frac{m}{n}}}\) (trong đó \(m\), \(n\) là các số nguyên dương, \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản). Giá trị \({m^{n - 1}}\) bằng \(\_\_\_\_\).

Đáp án: _____

Đáp án đúng là: 4096

Phương pháp giải

Đưa phương trình về dạng \(f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y\)

Giải chi tiết

Với \(x > 0,y > 1\), ta có:
\(\frac{1}{2}{y^2} \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{{xy - x}}{{2y}}} \right) = - 2{(y - 1)^2} + \frac{{8{y^2}}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{{xy - x}}{{2y}}} \right) = - 4{\left( {\frac{{y - 1}}{y}} \right)^2} + \frac{{16}}{{{x^2}}}\)\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{x}{2} - 4{\left( {\frac{2}{x}} \right)^2} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{y}{{y - 1}}} \right) - 4{\left( {\frac{{y - 1}}{y}} \right)^2}\left( {\rm{*}} \right)\).
Xét hàm số luôn đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Khi đó \(\left( {\rm{*}} \right)\) có nghiệm \(\frac{x}{2} = \frac{y}{{y - 1}} \Leftrightarrow x = \frac{{2y}}{{y - 1}}\).
Từ \(x = \frac{{2y}}{{y - 1}} \Rightarrow \frac{x}{2}\left( {y - 1} \right) = y \Rightarrow a + b = ab\). Mặt khác, ta có:
\({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab \Rightarrow {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge a + b \Rightarrow {(a + b)^2} - 4\left( {a + b} \right) \ge 0 \Rightarrow a + b \ge 4{\rm{\;}}\)

\(({\rm{do\;}}a + b > 0)\).
Ta có: \(P = {e^{\frac{{{a^2}}}{{1 + 2b}} + \frac{{{b^2}}}{{1 + 2a}}}}\). Theo bấc đẳng thức BCS ta có\(\;\frac{{{a^2}}}{{1 + 2b}} + \frac{{{b^2}}}{{1 + 2a}} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{2 + 2\left( {a + b} \right)}}\)

Xét hàm số luôn đồng biến trên \(\left[ {4; + \infty } \right)\). Suy ra .
Khi đó: \({P_{{\rm{min}}}} = {e^{\frac{8}{5}}} = {e^{\frac{m}{n}}} \Rightarrow m = 8,n = 5 \Rightarrow {m^{n - 1}} = {8^4} = 4096\).

Đáp án cần điền là: 4096