Tìm giá trị thực của tham số \(m \ne 0\) để hàm số \(y = m{x^2} - 2mx - 3m - 2\) có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 10\) trên \(\mathbb{R}.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow \) \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\)có tâm là điểm \(I\left( { - 1;2} \right)\).

Do \({\left( {0 + 1} \right)^2} + {\left( {2 - 2} \right)^2} = 1\) nên điểm \(M\) thuộc đường tròn (C).

Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {0;2} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MI}  = \left( { - 1;0} \right)\), nên có phương trình

       \( - 1\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

b) Đường tròn (C) có tâm \(I\left( {3; - 1} \right),\,R = \sqrt 5 \) và tiếp tuyến có dạng

\(\Delta :2x + y + c = 0\,\,\left( {c\not  = 7} \right).\)

Ta có \(R = d\left( {I,\Delta } \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {c + 5} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \sqrt 5  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 0\\c =  - 10\end{array} \right..\)

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán là \(2x + y = 0\) và \(2x + y - 10 = 0.\)

Hướng dẫn giải

a) Bán kính của đường tròn là \(R = IA = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 5\).

Phương trình của đường tròn là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).

b) Toạ độ trung điểm \(I\) của  \(AB\) là \(I\left( { - 2;1} \right)\).

Bán kính của đường tròn là \(R = AI = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}}  = \sqrt {17} \).

Phương trình của đường tròn là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 17\).

c) Có tâm \(I\left( {1;3} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng  \(x + 2y + 3 = 0\).

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(x + 2y + 3 = 0\) bằng bán kính \(R = \frac{{|1 + 2.3 + 3|}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5 \).

Phương trình đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 20\).