Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu \(\left( {\rm{S}} \right)\) có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2az + 10a = 0\). Tập hợp các giá trị thực của a để (S) có chu vi đường tròn lớn bằng \(8\pi \) là:

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Đường tròn lớn của bán kính bằng bán kính mặt cầu.

Chu vi đường tròn bán kính R là \(C = 2\pi R\).

Lời giải

Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2az + 10a = 0\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I\left( {2; - 1;a} \right)}\\{R = \sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {a^2} - 10a} = \sqrt {{a^2} - 10a + 5} }\end{array}} \right.\)

ĐКХĐ: \({a^2} - 10a + 5 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 5 + 2\sqrt 5 }\\{a < 5 - 2\sqrt 5 }\end{array}} \right.\).

Đường tròn lớn của hình cầu có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} - 10a + 5} \).

\( \Rightarrow \) Chu vi: \(C = 2\pi R = 2\pi \sqrt {{a^2} - 10a + 5} \).

Mà \(C = 8\pi \Leftrightarrow 2\pi \sqrt {{a^2} - 10a + 5} = 8\pi \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - 10a + 5} = 4\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 10a + 5 = 16\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 10a - 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 1}\\{a = 11}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow S = \left\{ { - 1;11} \right\}\)