Biểu đồ hình quạt sau đây biểu diễn kết quả đánh giá xếp loại học sinh cuối học kì I của học sinh khối 7. Quan sát các dữ liệu trên biểu đồ và trả lời các câu hỏi sau đây:

(a) Tỉ lệ học sinh xếp loại Đạt của khối 7.

(b) Số học sinh xếp loại Giỏi gấp bao nhiêu lần số học sinh xếp loại Yếu?

(c) Tổng số học sinh xếp loại Khá, Giỏi chiếm bao nhiêu phần trăm tổng số học sinh khối 7?

(d) Biết khối 7 có 350 học sinh. Tính số học sinh xếp loại Giỏi của khối 7.

a) Rút gọn và sắp xếp đa thức \(M\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến, ta được:

\(M\left( x \right) = 3x + {x^4} - 4{x^3} - {x^2} - 2{x^4} + 4{x^3} - x - 5\)

\( = \left( {{x^4} - 2{x^4}} \right) + \left( {4{x^3} - 4{x^3}} \right) - {x^2} + \left( {3x - x} \right) - 5\)

\( = - {x^4} - {x^2} + 2x - 5\).

Vậy \(M\left( x \right) = - {x^4} - {x^2} + 2x - 5\).

b) • \(A\left( x \right) = M\left( x \right) + N\left( x \right) = \left( { - {x^4} - {x^2} + 2x - 5} \right) + \left( {2x + 3} \right)\)

\( = - {x^4} - {x^2} + 2x - 5 + 2x + 3\)

\[ = - {x^4} - {x^2} + \left( {2x + 2x} \right) + \left( {3 - 5} \right)\]

\[ = - {x^4} - {x^2} + 4x - 2\].

• \[B\left( x \right) = N\left( x \right) - M\left( x \right) = \left( {2x + 3} \right) - \left( { - {x^4} - {x^2} + 2x - 5} \right)\]

\[ = 2x + 3 + {x^4} + {x^2} - 2x + 5\]

\[ = {x^4} + {x^2} + \left( {2x - 2x} \right) + \left( {3 + 5} \right) = {x^4} + {x^2} + 8\].

Vậy \[A\left( x \right) = - {x^4} - {x^2} + 4x - 2\]; \[B\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + 8\].

c) Nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\) là

\(2x + 3 = 0\)

\(2x = - 3\)

\(x = - \frac{3}{2}\).

Vậy nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\) là \(x = - \frac{3}{2}\).

d) Ta có \(B\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + 8 = {x^4} + 2 \cdot \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{4} + \frac{{31}}{4}\)

\( = {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} > 0{\kern 1pt} \,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

Do đó \(B\left( x \right)\) vô nghiệm.

a) Xét $\Delta MAC$ và $\Delta MBD$ có:

$MA=MB$ (do $M$ là trung điểm của $AB$0;

$\widehat{AMC}=\widehat{BMD}$ (đối đỉnh);

$MC=MD$ (giả thiết)

Do đó $\Delta MAC=\Delta MBD\left(\text{c}\text{.}\text{g}\text{.}\text{c}\right)$.

b) Do $\Delta MAC=\Delta MBD$ (câu a) nên $AC=BD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $\Delta BCD$ có: BD+BC>CD (bất đẳng thức tam giác)

Do đó AC+BC>CD

Mà $CD=2CM$ (do $MD=MC$ nên $M$ là trung điểm của $CD$).

Vậy AC+BC>2CM.

c) Xét $\Delta ACD$ có đường trung tuyến $AM$ và $AK=\frac{2}{3}AM$ nên $K$ là trọng tâm của $\Delta ACD$

Do đó $CK$ là đường trung tuyến nên $N$ là trung điểm của $AD$.

Xét $\Delta ABD$ có $DM,BN$ là hai đường trung tuyến và $DM,BN$ cắt nhau tại $I$ nên $I$ là trọng tâm của $\Delta ABD$.

Do đó $DI=\frac{2}{3}DM$

Mà $DM=\frac{1}{2}CD$ nên $DI=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}CD=\frac{1}{3}CD$ hay $CD=3DI$.