Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Biết \(SA = a\sqrt 2 \) và \(SA\) vuông góc với mặt đáy. Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SM\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Vì \(\Delta ABC\) đều, \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(AM \bot BC\) (1).

Mà \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).

b) Vì \(AH \bot SM\) và \(BC \bot AH\) nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

c) Ta có \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét \(\Delta SAM\) có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\).

d) Vì \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) nên \(SH\) là hình chiếu của \(SA\) trên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Do đó \(\left( {SA,\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {SA,SH} \right) = \widehat {ASH}\).

Xét \(\Delta SHA\) vuông tại \(H\), có \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {2{a^2} - \frac{{6{a^2}}}{{11}}}  = \frac{{4a\sqrt {11} }}{{11}}\).

Do đó \(\tan \widehat {ASH} = \frac{{AH}}{{SH}} = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}:\frac{{4a\sqrt {11} }}{{11}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\).