Trong không gian \[Oxyz\], cho \[3\] điểm \[A\left( {5; - 2;0} \right)\], \[B\left( {4;5; - 2} \right)\] và \[C\left( {0;3;2} \right)\]. Điểm \[M\] di chuyển trên trục \[Ox\]. Đặt \[Q = 2\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\]. Biết giá trị nhỏ nhất của \[Q\] có dạng \[a\sqrt b \] (trong đó \[a,b \in \mathbb{N}\] và \[b\] là số nguyên tố). Tính \[a + b\].

a) \({v_2}\left( t \right) = m{t^2} + nt\)

\({v_2}\left( {20} \right) = 0\) (vì xe dừng hẳn sau 20 giây \( \Rightarrow n =  - 20m\) .

Ta có \({v'_2}\left( t \right) = 2mt + n\).

Vì \({v_2}\max  = 54\,km/h = 15m/s\) nên \(2mt + n = 0 \Rightarrow t =  - \frac{n}{{2m}} =  - \frac{{ - 20m}}{{2m}} = 10 \Rightarrow {v_2}\left( {10} \right) = 15\)

\( \Rightarrow m{.10^2} + n.10 = 15 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}100m + 10n = 15\\n =  - 20m\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = 3\\m =  - \frac{3}{{20}}\end{array} \right. \Rightarrow {v_2}\left( t \right) =  - \frac{3}{{20}}{t^2} + 3t\).

Khoảng cách từ vị trí đèn tín hiệu đến cửa hàng là \(\int\limits_0^{20} {\left( { - \frac{3}{{20}}{t^2} + 3t} \right){\rm{d}}t}  = 200\,\,\left( m \right)\).

Suy ra khẳng định đúng.

b) Đổi \[36km/h = 10m/s\].

Với \(t = 0 \Rightarrow v\left( t \right) = 10 \Rightarrow a.0 + b = 10 \Rightarrow b = 10\). Suy ra khẳng định sai.

c) Người đang điều khiển với vận tốc 36 km/h và phát hiện đèn tín hiệu cách vị trí xe 80 m. Ba giây sau đó xe bắt đầu giảm tốc thì quãng đường xe máy đi được từ lúc giảm tốc lần một đến khi dừng hẳn cách đèn là: \(80 - 3.10 = 50\,\,\left( m \right)\). Suy ra khẳng định đúng.

d) Ta có \({v_1}\left( t \right) = at + 10\) .

Khi \({v_1}\left( t \right) = 0\)\( \Rightarrow t =  - \frac{{10}}{a} \Rightarrow {S_1}\left( t \right) = \int {{v_1}\left( t \right){\rm{d}}t}  = \frac{1}{2}a{t^2} + 10t\)

\( \Rightarrow {S_1}\left( { - \frac{{10}}{a}} \right) = 50 \Rightarrow \frac{1}{2}.a.{\left( { - \frac{{10}}{a}} \right)^2} + 10.\left( { - \frac{{10}}{a}} \right) = 50 \Rightarrow a =  - 1\)\( \Rightarrow {v_1}\left( t \right) =  - t + 10\).

\( \Rightarrow t = \frac{{ - 10}}{{ - 1}} = 10\). Suy ra khẳng định đúng.

Đáp án: \[0,32\]

Gọi biến cố \[{A_i}\]: “Bạn An thắng séc thứ \[i\]” , \[i \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\], \[P\left( {{A_i}} \right) = 0,4;P\left( {\overline {{A_i}} } \right) = 0,6\].

Để An thắng chung cuộc thì có \[3\] trường hợp:

Trường hợp 1: An thắng \[3\] séc đầu có xác suất là \[{P_1} = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}} \right).P\left( {{A_3}} \right) = 0,4.0,4.0,4 = 0,064\]

Trường hợp 2: An thắng \[3\] séc trong 4 séc đầu có xác suất là

\[{P_2} = 3.P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}} \right).P\left( {\overline {{A_3}} } \right).P\left( {{A_4}} \right) = 3.0,4.0,4.0,6.0,4 = 0,1152\]

Trường hợp \[3\]: An thắng \[3\] séc trong \[5\] séc có xác suất là

\[{P_3} = 6.P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}} \right).P\left( {\overline {{A_3}} } \right).P\left( {\overline {{A_4}} } \right).P\left( {{A_5}} \right) = 6.0,4.0,4.0,6.0,6.0,4 = 0,13824\]

Xác suất An thắng chung cuộc là \[{P_1} + {P_2} + {P_3} = 0,064 + 0,1152 + 0,13824 = 0,31744 \approx 0,32\].