Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = 1\] công sai \[d = 3\]. Giá trị của \[{u_4}\] bằng 

a) Đúng

Sau 8 phút, quãng được tên lửa bay được là \[OA = \sqrt {{{140}^2} + {{60}^2} + {6^2}}  \approx 152,4\] (km)

Vec-tơ vận tốc đơn vị theo thời gian (km/phút) là: \[\overrightarrow v  = \frac{1}{8}\overrightarrow {OA}  = \left( {\frac{{35}}{2}\,;\,\frac{{15}}{2}\,;\,\frac{3}{4}} \right)\]

Toạ độ tên lửa sau t phút là \[M\left( t \right) = \left( {\frac{{35}}{2}t\,;\,\frac{{15}}{2}t\,;\,\frac{3}{4}t} \right)\]

b) Đúng

Toạ độ tên lửa sau 4 phút là: \[M\left( 4 \right) = \left( {\frac{{35}}{2}.4\,;\,\frac{{15}}{2}.4\,;\,\frac{3}{4}.4} \right) = \left( {70\,;\,30\,;\,3} \right)\]

Vậy độ cao của tên lửa sau 4 phút là 3 km.

c) Sai

Toạ độ tên lửa sau 12 phút là \[M\left( {12} \right) = \left( {\frac{{35}}{2}.12\,;\,\frac{{15}}{2}.12\,;\,\frac{3}{4}.12} \right) = \left( {210\,;\,90\,;\,9} \right)\]

d) Sai

Ta có \[\overrightarrow {OA}  = \left( {140\,;\,60\,;\,6} \right)\], \[\overrightarrow k  = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\]

Vì \[\left( P \right)\] là mặt phẳng chứa quỹ đạo bay OA của tên lửa và vuông góc với mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] nên

\[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OA} \,;\,\overrightarrow k } \right] = \left( {60\,;\, - 140\,;\,0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {3\,;\, - 7\,;\,0} \right)\]

Mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua \[O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\], \[\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {3\,;\, - 7\,;\,0} \right)\] có phương trình là \[3x - 7y = 0\].

Đáp án: 9,38.

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như trên với \(A\left( {5;0;0} \right)\), \(B\left( {0;b;0} \right)\), \(C\left( {0;0;c} \right)\) và \(M\left( {1;1;1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\frac{x}{5} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) \(\left( {b,c > 0} \right)\).

Điểm \(M \in \left( {ABC} \right) \Rightarrow \frac{1}{5} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{4}{5}\).

Thể tích khối chóp \[O.ABC\]: \({V_{O.ABC}} = \frac{1}{6} \times OA \times OB \times OC = \frac{{5bc}}{6}\).

Khoảng cách từ \[O\] đến mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\]:

\[d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{0}{5} + \frac{0}{b} + \frac{0}{c} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{25}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }}\].

Diện tích \[\Delta ABC\]: \[{S_{ABC}} = \frac{{3{V_{O.ABC}}}}{{d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)}} = \frac{{\frac{{5bc}}{2}}}{{\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{25}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }}}} = \frac{1}{2}\sqrt {{b^2}{c^2} + 25\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} \].

Biểu thức \[{b^2}{c^2} + 25\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\] đối xứng về vai trò của \[b\] và \[c\].

Suy ra \[{\left[ {{b^2}{c^2} + 25\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} \right]_{\min }}\] khi \[b = c \Rightarrow \frac{1}{b} = \frac{1}{c} = \frac{2}{5} \Rightarrow b = c = \frac{5}{2}\].

Vậy \[{\left( {{S_{ABC}}} \right)_{\min }} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + 25\left[ {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}} \right]}  = \frac{{75}}{8} \approx 9,38\]mét vuông.