Cho tam giác ABC vuông tại \(A.\) Chứng minh rằng \[\tan \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}\]

Hình vẽ minh họa Câu toán:

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\), ta có

\(\tan ADB = \frac{{AB}}{{AD}}\) (tỉ số lượng giác của hai góc nhọn)

\(AD = \frac{{AB}}{{\tan ADB}} = \frac{{AB}}{{\tan {{40}^{\rm{o}}}}}\,m\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có

\(\tan ACB = \frac{{AB}}{{AC}}\) (tỉ số lượng giác của hai góc nhọn)

\(AC = \frac{{AB}}{{\tan ACB}} = \frac{{AB}}{{\tan {{30}^{\rm{o}}}}}\,m\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \(AD + DC = AC\)(vì \(D\)thuộc \(AC\))

\[\frac{{AB}}{{\tan 40^\circ }} + 89 = \frac{{AB}}{{\tan 30^\circ }}\]

\(\frac{{AB}}{{\tan 30^\circ }} - \frac{{AB}}{{\tan 40^\circ }} = 89\)

\[\frac{{AB}}{{\tan 30^\circ }}\left( {\frac{1}{{\tan 30^\circ }} - \frac{1}{{\tan 40^\circ }}} \right) = 89\]

\(AB = \frac{{89}}{{\frac{1}{{\tan 30^\circ }} - \frac{1}{{\tan 40^\circ }}}}\)

Do đó \(AB \approx 164,7\,m\)

Hình vẽ minh họa Câu toán

a) Vì các góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là bằng nhau nên góc B bằng góc B’

\[ \Rightarrow \tan B = \tan B' = \frac{{A'C'}}{{A'B'}} = \frac{{15}}{{2,64}}\] (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

\[ \Rightarrow B = B' \approx {80^o}\]

Vậy góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất là \[{80^o}\]

b) Ta có: \[\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}\]

\[ \Rightarrow AC = AB.tanB = 47,3.\frac{{15}}{{2,64}} \approx 268,8m\]

Vậy chiều cao của tòa nhà là 268,8m