Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho AC=R. Gọi I là trung điểm của dây AC. Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến Ax tại M. Chứng minh rằng:

a) \[\widehat {ACB}\] có số đo bằng 90°, từ đó suy ra độ dài của BC theo R;

b) OM là tia phân giác của \[\widehat {COA}\];

c) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

\(I\) là trung điểm của \(DE\left( {gt} \right) \Rightarrow OI \bot DE\) hay \(\Delta OIA\) vuông tại \(I\)

Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\).

Ta có \(\Delta OHN\) vuông tại \(H\)

Ta có $\Delta OHN\backsim \Delta OIA$ (g.g) \( \Rightarrow \frac{{ON}}{{OA}} = \frac{{OH}}{{OI}} \Rightarrow ON = \frac{{OA.OH}}{{OI}}\).

Xét \(\Delta ABO\) và \(\Delta HBO\) có: \(\widehat {ABO} = \widehat {BOH} = 90^\circ \), \(\widehat {AOB}{\rm{\;}}\) chung.

Do đó  $\Delta ABO\backsim \Delta BHO$(g.g) \( \Rightarrow \frac{{OB}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OB}}\) \( \Rightarrow OA.OH = O{B^2} = {R^2}\)

Do đó \(ON = \frac{{{R^2}}}{{OI}}\) (không đổi), \(d\) cho trước, \(O\) cố định \( \Rightarrow I\) cố định \( \Rightarrow N\) cố định.

Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC và BP. Ta có \[\widehat {BAC} = 90^\circ \] (BC là đường kính)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {BAD} = 90^\circ \) (kề bù)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {DAP} + \widehat {PAB} = 90^\circ \) (1)

\(\Delta ABD\)vuông tại A (cmt)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {DBA} + \widehat {ADB} = 90^\circ \) (2)

Mặt khác PA, PB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại P của đường tròn (O) nên PA = PB và \(\widehat {PAB} = \widehat {PBA}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra : \(\widehat {DAP} = \widehat {ADP}\)

Do đó \(\Delta APD\)cân tại P \( \Rightarrow \)PA = PD mà PA = PB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow \) PD = PB

Lại có \(DB\,{\rm{//}}\,AH\,\,( \bot BC)\)

Xét \(\Delta PBC\)có \(IH\,{\rm{//}}\,PB\,\,( \bot BC)\)\( \Rightarrow \)\[\frac{{IH}}{{PB}} = \frac{{IC}}{{PC}}\] (định lí Thalès) (4)

Tương tự \(\Delta PDC\)có \[IA\,{\rm{//}}\,PD\,\,( \bot BC)\]\( \Rightarrow \)\[\frac{{IA}}{{PD}} = \frac{{IC}}{{PC}}\] (định lí Thalès) (5)

Từ (4) và (5) suy ra : \[\frac{{IH}}{{PB}} = \frac{{AI}}{{DP}}\]\( \Rightarrow \)\(IH = IA\) (vì PB = PD)