Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho AC=R. Gọi I là trung điểm của dây AC. Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến Ax tại M. Chứng minh rằng:
a) \[\widehat {ACB}\] có số đo bằng 90°, từ đó suy ra độ dài của BC theo R;
b) OM là tia phân giác của \[\widehat {COA}\];
c) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho AC=R. Gọi I là trung điểm của dây AC. Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến Ax tại M. Chứng minh rằng:
a) \[\widehat {ACB}\] có số đo bằng 90°, từ đó suy ra độ dài của BC theo R;
b) OM là tia phân giác của \[\widehat {COA}\];
c) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a)Xét ΔAOC có OA = OC (=R)
nên ΔAOC cân tại O.
Lại có AC = R (gt) nên tam giác AOC đều
\( \Rightarrow \widehat {AOC} = 60^\circ \)
\[ \Rightarrow \widehat {COB} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \] (kề bù)
Mặt khác tam giác COB cũng cân tại O có góc ở đỉnh 120°
\[ \Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {OCB} = \frac{{180^\circ - 120^\circ }}{2} = 30^\circ \]
ΔAOC đều (cmt) \[ \Rightarrow \widehat {ACO} = 60^\circ \].
\[ \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {ACO} + \widehat {OCB} = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ \].
Ta có ACB là nửa tam giác đều có cạnh 2R.
\[ \Rightarrow {\rm{ }}BC = \frac{{2R\sqrt 3 }}{2}{\rm{ }} = R\sqrt 3 \]
b) Vì AC = R (gt) nên tam giác AOC đều (cmt) có OI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường phân giác của góc COA hay OM là tia phân giác của \[\widehat {AOC}\].
c) Xét ΔMCO và ΔMAO có:
OM cạnh chung, \[\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}(cmt)\], OC = OA (=R)
Do đó ΔMCO = ΔMAO (c.g.c)
\[ \Rightarrow \widehat {MCO} = \widehat {MAO} = {90^o}\] hay MC ^ OC
Mà C Î (O) nên MC là tiếp tuyến cua đường tròn (O; R).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi H là giao điểm của OA và BC
ΔBOC cân tại O có OH là đường cao (gt)
nên đồng thời là đường phân giác: \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)
Xét ΔACO và ΔABO có: OB = OC = R,
\(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)(cmt), AO chung
=> ΔACO = ΔABO (c.g.c) =>\(\widehat {ACO} = \widehat {ABO} = {90^o}\)
Chứng tỏ AC là tiếp tuyến của (O).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Ta có: \(DA = DC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\(OA = OC\;( = R)\)
Nên DO là đường trung trực của AC
\( \Rightarrow \) \(DO \bot AC\)
Lại có \(CB \bot AC\) (AB là đường kính)
\( \Rightarrow \) \(DO//BC\)\( \Rightarrow \) \(\widehat {AOD} = \widehat {ABC}\)(đồng vị)
Do đó (g.g)
\( \Rightarrow \) \(\frac{{AO}}{{HB}} = \frac{{AD}}{{HC}}\) \( \Rightarrow \)\(AO.HC = AD.HB\) (1)
Lại có \(IH//AD\)(cùng vuông góc với AB) theo hệ quả của định lí Thalès
\(\frac{{IH}}{{AD}} = \frac{{HB}}{{AB}}\)\( \Rightarrow \)\(AD.HB = IH.AB\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \)\(AO.HC = IH.AB\) mà \(AB = 2AO\)
\( \Rightarrow \)\(AO.HC = IH.2AO\)\( \Rightarrow \)\(HC = 2IH\)
Chứng tỏ I là trung điểm của HC hay CI = HI.
Cách khác:
Có \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (AB là đường kính)
\( \Rightarrow \)\(\widehat {ACE} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ACD} + \widehat {DCE} = 90^\circ \) (1)
\(\Delta ACE\) vuông tại C \( \Rightarrow \)\[\widehat {{A_1}} + \widehat E = 90^\circ \] (2)
Lại có \(\Delta ADC\)cân tại D (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)\( \Rightarrow \)\[\widehat {{A_1}} = \widehat {ACD}\] (3)
Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \) \[\widehat E = \widehat {DCE}\]
Hay \(\Delta EDC\)cân tại D \( \Rightarrow \)\[DE = DC\]
Mà \[DC = DA\]\( \Rightarrow \)\[DE = DA\]
Lại có \[AE\,{\rm{//}}\,CH\,\,( \bot AB)\]
Xét \[\Delta DAB\] có \[IH\,{\rm{//}}\,AD\].
Theo hệ quả của định lí Thalès \[\frac{{IH}}{{AD}} = \frac{{BI}}{{BD}}\] (4)
Tương tự với \[\Delta BDE\] có \[CI//DE\]\[ \Rightarrow \]\[\frac{{IH}}{{AD}} = \frac{{CI}}{{DE}}\] mà \[AD = DE\] (cmt) \( \Rightarrow \)\[IH = CI\].
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập