Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], có \[AB = 8\,\,{\rm{cm}}{\rm{, }}AC = 15\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\] Vẽ đường cao \[AH\]. Gọi \[D\] là điểm đối xứng với \[B\] qua \[H\]. Vẽ đường tròn đường kính \[CD\] cắt \[AC\] ở \[E\], \[F\] là trung điểm của \[AE\].

Khi đó:           

a) Đúng.

Ta có \[E\] thuộc đường tròn tâm \[\left( O \right)\] nên \[\widehat {DEC} = 90^\circ \].

Suy ra \[\widehat {DEC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \].

Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \[DE\parallel BA\].

b) Sai.

Vì \[F\] là trung điểm của \[AE\], \[H\] là trung điểm của \[BD\] nên \[HF\] là đường trung bình của hình thang \[DEAB\].

Suy ra \[HF \bot AE\], do đó \[HF\] vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao trong tam giác \[AHE\].

Do đó, \[\Delta AHE\] cân tại \[H.\]

c) Đúng.

Vì \[\Delta AHE\] cân tại \[H\] nên \[\widehat {{A_1}} = \widehat {{E_1}}\].

Có \[\Delta EOC\] cân tại \[O\] nên \[\widehat {{E_2}} = \widehat C\], do đó, \[\widehat {{E_1}} + \widehat {{E_2}} = \widehat {{A_1}} + \widehat C = 90^\circ \].

Suy ra \[\widehat {HEO} = 180^\circ - \left( {\widehat {{E_1}} + \widehat {{E_2}}} \right) = 90^\circ \].

Suy ra \[HE \bot OE\].

d) Sai.

Xét \[\Delta ABC\] có: \[AH \cdot BC = AC \cdot AB\], suy ra \[HE = AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{8 \cdot 15}}{{\sqrt {{8^2} + {{15}^2}} }} = \frac{{120}}{7} > \frac{{119}}{7} = 17\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\]