Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2}\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Lời giải

Chọn C.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

\(\forall {x_1},{x_2} \in \mathbb{R},{x_1} \ne {x_2}\) ta có

\(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\left( {x_2^4 - x_1^4} \right) - 2\left( {x_2^2 - x_1^2} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\left( {x_2^2 - x_1^2} \right)\left( {x_2^2 + x_1^2} \right) - 2\left( {x_2^2 - x_1^2} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\)

\( = \left( {{x_2} + {x_1}} \right)\left( {x_2^2 + x_1^2 - 2} \right)\).

Ta thấy với \({x_1},{x_2} \in \left( {0;1} \right)\) thì \({x_1} + {x_2} > 0\) và \(0 < x_1^2,x_2^2 < 1\)

\( \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 < 2 \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2 < 0\), do đó \(\left( {{x_2} + {x_1}} \right)\left( {x_2^2 + x_1^2 - 2} \right) < 0\).

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).