Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M nằm trên nửa đường tròn (M ≠ A; B; AM < MB). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại C và D.

(a) Chứng minh rằng: tứ giác ACMO nội tiếp.

(b) Gọi P là giao điểm CD và AB. Chứng minh: PA.PO = PC.PM

(c) Gọi E là giao điểm của AM và BD; F là giao điểm của AC và BM.  Chứng minh: E; F; P thẳng hàng.

Tại một khu vui chơi trong công viên ở Thành Phố Đà Nẵng, người ta dự định thiết kế một đài phun nước gắn liền với một tháp trang trí. Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Dòng nước phát ra từ vòi phun tại điểm A nằm trên đài phun nước có hình dạng đường Parabol, đạt độ cao cực đại tại O và rơi xuống mặt sông tại điểm C. Biết rằng độ cao của vòi phun tại điểm A so với mặt nước là 3m, khoảng cách từ chân tháp B đến điểm D (hình chiếu của đỉnh O xuống mặt nước) là BD = 4m, đỉnh O của dòng nước có độ cao so với mặt nước là OD = 4,5m, dòng nước có dạng đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\)(a < 0). Hãy tính khoảng cách CB tại điểm nước rơi xa nhất đến chân tháp? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Để trải nghiệm ngắm cảnh sông Hàn, bạn Nam sử dụng dịch vụ xe đạp công cộng tại một trạm xe gần cầu Rồng. Bảng giá niêm yết dành cho vé thuê xe như sau: với 30 phút đầu tiên giá 5 000 đồng/lượt. Sau 30 phút đầu: Cước phí phát sinh là 1000 đồng cho mỗi 6 phút tiếp theo. Hỏi với số tiền 23 000 đồng trong tài khoản ứng dụng, bạn Nam có thể sử dụng xe đạp này để di chuyển trong thời gian tối đa là bao nhiêu phút?

Một chiếc bánh pizza hình tròn có đường kính là 30cm. Người ta cắt chiếc bánh thành 8 miếng bằng nhau (có dạng hình quạt tròn) để chia cho 8 người. Hãy tính diện tích bề mặt của mỗi miếng bánh pizza đó. (Lấy \(\pi \approx 3,14\), làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ có đường kính 1,4m, đường cao hình trụ 0,7m, phần còn lại có dạng hình nón, cả dụng cụ cao 1,6m. Các kích thước cho trên hình vẽ. Hãy tính diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính nắp đậy).

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 5x - 6 = 0\). Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức: \(A = \frac{{\left( {1 - {x_1}} \right){x_2}}}{{{x_1}}} + \frac{{\left( {1 - {x_2}} \right){x_1}}}{{{x_2}}}\).

Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy là 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.