Cho phương trình \({x^2} - 19x + 7 = 0\)(1). Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = {x_2}{\left( {2{x_1}^2 - 38{x_1} + {x_1}{x_2} - 3} \right)^2} + {x_1}{\left( {2{x_2}^2 - 38{x_2} + {x_1}{x_2} - 3} \right)^2} + 125\)

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Trên nửa đường tròn (O) lấy điểm C (C khác A và B). Trên cung nhỏ CB của nửa đường tròn (O) lấy điểm D (D khác C và B). Kẻ $CH\perp AB$ tại H, $CK\perp AD$ tại K. Gọi I là giao điểm của hai đoạn thẳng CH và AD.

(a) Chứng minh tứ giác AHKC nội tiếp đường tròn

(b) Chứng minh $\widehat{KCH}=\widehat{DCB}$ và $AI.AD=AH.AB$

(c) Tia CK cắt đoạn thẳng HD tại P. Chứng minh $IP$//$CD$

Vẽ đồ thị hàm số (P):\[y = - \frac{1}{2}{x^2}\]. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) có hoành độ khác 0 và tung độ gấp đôi hoành độ.

Bạn Toán đi mua giúp bố cây lăn sơn ở cửa hàng nhà bác Học. Một cây lăn sơn tường có dạng một khối trụ với đường kính đáy là $5 cm$ và chiều cao là $23 cm$ (hình vẽ bên). Nhà sản xuất cho biết sau khi lăn $1000$ vòng thì cây sơn tường có thể bị hỏng. Hỏi bạn Toán cần mua ít nhất mấy cây lăn sơn tường biết diện tích tường mà bố bạn Toán cần sơn là $100m{}^2$?

Trong kì thi cuối kì 2 của học sinh khối 9, một phòng thi của trường THCS Huỳnh Bá Chánh có 25 thí sinh dự thi. Các học sinh đều phải làm bài trên giấy thi của trường phát cho. Hết giờ làm bài tất cả các học sinh đều nộp bài. Sau khi thu bài, giám thị coi thi đếm được tổng số 49 tờ giấy thi. Hỏi trong phòng thi có bao nhiêu học sinh làm bài 1 tờ giấy thi, bao nhiêu học sinh làm bài 2 tờ giấy thi? Biết rằng có 4 học sinh làm 3 tờ giấy thi và không có học sinh nào làm nhiều hơn 3 tờ giấy thi.

Hãy rút gọn biểu thức sau:

\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} - \frac{{x - 3\sqrt x + 5}}{{x - 5\sqrt x + 6}}\) với \(x \ge 0\); \(x \ne 4\); \( \ne x \ne 9\)

Một hộp đựng 40 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, trong đó có 24 viên bi màu đỏ, 12 viên bi màu xanh và số còn lại là bi màu vàng. Nam lấy ngẫu nhiên một viên bi rồi bỏ lại vào hộp.

(a) Tính xác suất để bạn Nam lấy được viên bi màu vàng.

(b) Bạn Nam được mẹ cho thêm x viên bi xanh vào trong hộp. Tìm x, biết rằng xác suất để bạn Nam lấy được viên bi xanh là $\frac{1}{3}$.

Để lên sân thượng của một ngôi nhà một tầng cao 3,8m, người ta dùng một chiếc thang dài 4m được đặt như hình vẽ. Hỏi cách đặt thang như vậy đã đảm bảo an toàn chưa? Biết thang ở vị trí an toàn cho người dùng khi chân thang tạo với mặt đất một góc có độ lớn từ 60° đến $75°$. (Góc làm tròn đến độ)