Một người đi bộ một quãng đường dài 18km trong khoảng thời gian không nhiều hơn 4 giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 5km/h, về sau đi với vận tốc 4km/h. Xác định độ dài đoạn đường mà người đó đã đi với vận tốc 5km/h.

a) Gọi E là trung điểm của AC

Xét $\Delta AKC$ vuông tại $K$ có $EK$ đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AC$, ta có $EK=EC=EA=\frac{AC}{2}$ (1)

Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$ có $EH$là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\), ta có

\(EH = EC = EA = \frac{{AC}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(EA = EH = EK = EC\)

Suy ra 4 điểm \(A,H,K,C\)cùng nằm trên đường tròn tâm \(E\), đường kính \(AC\)

Vậy tứ giác \(AHKC\) nội tiếp đường tròn tâm \(E\), đường kính \(AC\)

b) Xét đường tròn (E) chỉ ra được \(\widehat {KCH} = \widehat {KAH}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KH) hay \(\widehat {KCH} = \widehat {DAB}\) (3)

Xét nửa đường tròn (O) chỉ ra được \(\widehat {DCB} = \widehat {DAB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DB) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: \(\widehat {KCH} = \widehat {DCB}\)

Xét nửa đường tròn (O) chỉ ra được \(\widehat {ADB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ADB} = 90^\circ \)Chứng minh được \(\Delta AIH\)∽\(\Delta ABD\)(g.g)

Suy ra: \(\frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{AD}}\) hay \(AI.AD = AH.AB\)

c) Kéo dài tia CP cắt AB tại M

Chứng minh được I là trực tâm của \(\Delta ACM\) suy ra \(MI \bot AC\)

Chứng minh được \(MI\)//\(BC\)

Xét \(\Delta CHB\) có \(I \in CH,M \in HB\) và \(MI\)//\(BC\) suy ra: \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HM}}{{HB}}\) (5)

(Theo định lí Thalès)

Xét \(\Delta HDB\) có \(P \in HD,M \in HB\) và \(MP\)//\(DB\) suy ra: \(\frac{{HD}}{{HP}} = \frac{{HM}}{{HB}}\) (6)

(Theo định lí Thalès)

Từ (5) và (6) suy ra \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HD}}{{HP}}\)

Sử dụng định lí Thalès đảo vào \(\Delta HCD\) suy ra: \(IP\)//\(CD\)

Bảng giá trị

Đồ thị

Vì M là điểm có tung độ gấp đôi hoành độ, nên \(M\left( {{x_o};2{x_o}} \right)\)

\(M\left( {{x_o};2{x_o}} \right) \in (P)\), ta có \[2{x_o} = - \frac{1}{2}x_o^2\]

Suy ra \({x_o} = 0\) hoặc \({x_o} = - 4\)

Vì hoành độ khác 0, nên \({x_o} = - 4\) suy ra \(M\left( { - 4;\, - 8} \right)\)