Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong \[1\] giờ \[20\] phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong \[10\] phút và vòi thứ hai trong \[12\] phút thì chỉ được \[\frac{2}{{15}}\] bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu ?

Ta có \[25\%  = \frac{1}{4}\].

Gọi \[x\] (giờ) là thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc \[\left( {x > 0} \right)\] ; \[y\] (giờ) là thời gian người thứ hai hoàn thành xong công việc \[\left( {y > 0} \right)\].

Trong 1 giờ người thứ nhất hoàn thành được \[\frac{1}{x}\]công việc, người thứ hai hoàn thành được \[\frac{1}{y}\] công việc.

Hai người cùng làm công việc trong \[16\] giờ thì trong một giờ hai người cùng làm được \[\frac{1}{{16}}\] công việc.

Ta có hệ phương trình : \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{16}}\\\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.\]

Giải hệ phương trình ta được \[x = 24;y = 48\].

Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong \[24\] giờ và người thứ hai hoàn thành công việc trong \[48\] giờ.

Ta có \[4\frac{4}{5}\] giờ = \[\frac{{24}}{5}\] giờ.

Gọi \[x\] (giờ) là thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể (\[x > 0\]) ; \[y\] (giờ) là thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể (\[y > 0\]).

Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được \[\frac{1}{x}\] bể, vòi thứ hai chảy được \[\frac{1}{y}\] bể.

Hai vòi cùng chảy đầy bể sau \[\frac{{24}}{5}\] giờ nên \[1\] giờ cả hai cùng chảy được \[\frac{5}{{24}}\] bể. Ta có phương trình :

                                       \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{24}}\]                 (1)

Trong \[9\] giờ, vòi thứ nhất chảy được \[\frac{9}{x}\] bể và \[\frac{6}{5}\] giờ, hai vòi cùng chảy được \[\frac{6}{5}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\] bể nên ta có phương trình : \[\frac{9}{x} + \frac{6}{5}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :  \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{24}}\\\frac{9}{x} + \frac{6}{5}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1\end{array} \right.\]

Đặt \[u = \frac{1}{x},\,y = \frac{1}{y}\]. Ta có hệ :

\[\left\{ \begin{array}{l}u + v = \frac{5}{{24}}\\9u + \frac{6}{5}\left( {u + v} \right) = 1\end{array} \right.\]    

\[\left\{ \begin{array}{l}u + v = \frac{5}{{24}}\\51u + 6v = 5\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{{12}}\\v = \frac{1}{8}\end{array} \right.\] 

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 8\end{array} \right.\]

Vậy nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 8 giờ sẽ đầy bể.