Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?

Xét mệnh đề a)

Điểm \(A\left( {4;0} \right)\)và \(D\left( {4;4} \right)\). Điểm \({I_2}\) là trung điểm \(AD \Rightarrow {I_2}\left( {4;2} \right)\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {0;2} \right)\) có bán kính \(R = 2\)là : \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\left( * \right)\)

Từ \(\left( * \right) \Rightarrow y - 2 =  \pm \sqrt {4 - {x^2}} \)

Nhìn vào hình vẽ, cung \(\left( {{C_1}} \right)\)nằm dưới tâm \({I_1}\)(giá trị \(y \le 2\)) nên ta chọn: \(y = 2 - \sqrt {4 - {x^2}} \) nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {4;2} \right)\) có bán kính \(R = 2\) là : \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\left( {**} \right)\)

Từ \[\left( {**} \right) \Rightarrow y - 2 =  \pm \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \]

Nhìn vào hình vẽ, cung \(\left( {{C_2}} \right)\) nằm trên tâm \({I_2}\)(giá trị \(y \ge 2\)) nên ta chọn: \(y = 2 + \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \)

Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) : \[{S_{\left( H \right)}} = \int\limits_0^2 {\left| {2 - \sqrt {4 - {x^2}} } \right|} {\rm{d}}x + \int\limits_2^4 {\left| {2 + \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } \right|} {\rm{d}}x = 8\](cm2) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Thể tích hình phẳng \(\left( H \right)\)khi quay quanh trục \(AB\):

\({V_{\left( H \right)}} = \pi .\left[ {{{\int\limits_0^2 {\left( {2 - \sqrt {4 - {x^2}} } \right)} }^2}{\rm{d}}x + {{\int\limits_2^4 {\left( {2 + \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } \right)} }^2}{\rm{d}}x} \right] \approx 83,8\)(cm3) nên mệnh đề d) sai

Để bài làm nhìn gọn hơn, ta chuẩn hóa đơn vị về kilomet. Gọi parabol \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)

Parabol đi qua điểm \(A\left( {1;\,1} \right)\) và điểm \(B\left( {3;\,0,8} \right)\)

Độ dốc tại \(A\) có độ lớn bằng \(0,3\) nhưng nó đang đi xuống từ trái sang phải nên độ dốc là \( - 0,3\)

Khi đó ta có: \[y'\left( 1 \right) =  - 0,3 \Leftrightarrow 2a.1 + b =  - 0,3 \Leftrightarrow 2a + b =  - 0,3\]

Từ đó ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1\\9a + 3b + c = 0,8\\2a + b =  - 0,3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{10}}\\b =  - \frac{1}{2}\\c = \frac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{{10}}{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{7}{5}\]

Sợi cáp an toàn là đường thẳng \(g\left( x \right) = mx + n\) đi qua \[A\left( {1;\,1} \right)\] và \(B\left( {3;\,0,8} \right)\) có phương trình là:

\(g\left( x \right) =  - \frac{1}{{10}}x + \frac{{11}}{{10}}\)

Khoảng cách giữa cáp an toàn và cầu treo theo phương thẳng đứng là : \(D\left( x \right) = g\left( x \right) - f\left( x \right)\)

\[ \Leftrightarrow D\left( x \right) = \left( { - \frac{1}{{10}}x + \frac{{11}}{{10}}} \right) - \left( {\frac{1}{{10}}{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{7}{5}} \right) \Leftrightarrow D\left( x \right) =  - \frac{1}{{10}}{x^2} + \frac{2}{5}x - \frac{3}{{10}}\]

Khảo sát hàm số \(D\left( x \right)\) để tìm khoảng cách lớn nhất. Nhận thấy, đây là đồ thị của hàm số bậc hai có hệ số \(a < 0\) nên sẽ đạt giá trị lớn nhất tại \(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{\frac{2}{5}}}{{2.\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)}} = 2 \Rightarrow {D_{\max }}\left( 2 \right) = 0,1\)(km)

Vậy khoảng cách lớn nhất giữa cáp an toàn và cầu treo theo phương thẳng đứng là \(100\) mét.