Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 2\) và công bội \(q = 3\). Tìm số hạng thứ \(4\) của cấp số nhân?

Xét mệnh đề a)

Điểm \(A\left( {4;0} \right)\)và \(D\left( {4;4} \right)\). Điểm \({I_2}\) là trung điểm \(AD \Rightarrow {I_2}\left( {4;2} \right)\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {0;2} \right)\) có bán kính \(R = 2\)là : \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\left( * \right)\)

Từ \(\left( * \right) \Rightarrow y - 2 =  \pm \sqrt {4 - {x^2}} \)

Nhìn vào hình vẽ, cung \(\left( {{C_1}} \right)\)nằm dưới tâm \({I_1}\)(giá trị \(y \le 2\)) nên ta chọn: \(y = 2 - \sqrt {4 - {x^2}} \) nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {4;2} \right)\) có bán kính \(R = 2\) là : \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\left( {**} \right)\)

Từ \[\left( {**} \right) \Rightarrow y - 2 =  \pm \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \]

Nhìn vào hình vẽ, cung \(\left( {{C_2}} \right)\) nằm trên tâm \({I_2}\)(giá trị \(y \ge 2\)) nên ta chọn: \(y = 2 + \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \)

Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) : \[{S_{\left( H \right)}} = \int\limits_0^2 {\left| {2 - \sqrt {4 - {x^2}} } \right|} {\rm{d}}x + \int\limits_2^4 {\left| {2 + \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } \right|} {\rm{d}}x = 8\](cm2) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Thể tích hình phẳng \(\left( H \right)\)khi quay quanh trục \(AB\):

\({V_{\left( H \right)}} = \pi .\left[ {{{\int\limits_0^2 {\left( {2 - \sqrt {4 - {x^2}} } \right)} }^2}{\rm{d}}x + {{\int\limits_2^4 {\left( {2 + \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } \right)} }^2}{\rm{d}}x} \right] \approx 83,8\)(cm3) nên mệnh đề d) sai

Xét mệnh đề a)

Phương trình mặt phẳng chứa bức tường bên phải là \(y = 7\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Tọa độ đèn là \(L\left( {4;0;5} \right)\) và chân cọc \(H\left( {1;6;0} \right)\) nên đỉnh cọc có tọa độ \(T\left( {1;6;h} \right)\)

Vectơ chỉ phương của tia sáng \(LT\) là \(\overrightarrow {{u_{LT}}}  = \left( { - 3;6;h - 5} \right)\)

Phương trình tia sáng \(LT\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 3t\\y = 6t\\z = 5 + \left( {h - 5} \right)t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\)

Giao điểm với tường phải có phương trình \(y = 7\) nên \(6t = 7 \Leftrightarrow t = \frac{7}{6} \Rightarrow z = \frac{{7h - 5}}{6}\) nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Đỉnh cọc lúc này có tọa độ \(T'\left( {1;6;2} \right)\) nên vectơ chỉ phương của tia sáng là \[\overrightarrow {{u_{LT'}}}  = \left( { - 1;2; - 1} \right)\]

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tia sáng và mặt sàn, khi đó: \(\sin \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_{LT'}}} .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{LT'}}} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\) nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Để bóng in trên bức tường thì bóng phải nằm trong phạm vi chiều cao của tường nên \(0 \le z \le 3\)

Thay vào ta được bất phương trình: \(0 \le \frac{{7h - 5}}{6} \le 3 \Leftrightarrow \frac{5}{7} \le h \le \frac{{23}}{7}\) nên \(h \in \left[ {\frac{5}{7};\frac{{23}}{7}} \right]\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{5}{7}\\b = \frac{{23}}{7}\end{array} \right.\) suy ra \(a + b = \frac{5}{7} + \frac{{23}}{7} = \frac{{28}}{7} = 4\) nên mệnh đề d) đúng