Bảng số liệu ghép nhóm về chiều cao đo được của 30 học sinh nam lớp 12A2 đầu năm học \(2025 - 2026\) của một trường THPT được cho như sau:

Chiều cao	\(\left[ {150\,;\;155} \right)\)	\(\left[ {155\,;\;160} \right)\)	\(\left[ {160\,;\;165} \right)\)	\(\left[ {165\,;\;170} \right)\)	\(\left[ {170\,;\;175} \right)\)
Tần số	\(3\)	\(7\)	\(10\)	\(7\)	\(3\)

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Mỗi câu hỏi sẽ gồm \(04\) ý trắc nghiệm đúng sai a), b), c), d) và mỗi ý chỉ gồm hai lựa chọn là đúng hoặc sai

Tổng số cách trả lời cho mỗi câu hỏi là: \({2^4} = 16\)(cách)

Số cách để đạt các mức điểm như sau:

Được \(1\) điểm khi đúng cả 4 ý  có \(C_4^4 = 1\)(cách)

Được \(0,5\) điểm khi đúng 3 ý có \(C_4^3 = 4\)(cách)

Được \(0,25\) điểm khi đúng 2 ý có \(C_4^2 = 6\)(cách)

Được \(0,1\) điểm khi đúng 1 ý có \(C_4^1 = 4\)(cách)

Được \(0\)điểm khi không làm đúng ý nào có \(C_4^0 = 1\)(cách)

Các trường hợp đạt tổng \(2,5\)điểm

Gọi \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\)là điểm số của 4 câu hỏi thì khi đó \({x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 2,5\)

Trường hợp 1: Bộ điểm \(\left\{ {1;1;0,5;0} \right\}\)

Số cách chọn vị trí câu hỏi: Ta có 4 câu, chọn 2 câu 1 điểm, 1 câu 0,5 điểm và 1 câu 0 điểm:

Số cách xếp bộ điểm này là: \(\frac{{4!}}{{2!.1!.1!}} = 12\)(cách)

Số cách chọn đáp án: 2 câu được 1 điểm mỗi câu có 1 cách; 1 câu được 0,5 điểm có 4 cách; 1 câu được 0 điểm có 1 cách

Trường hợp 2: Bộ điểm \(\left\{ {1;1;0,25;0,25} \right\}\)

Số cách chọn vị trí câu hỏi: Chọn 2 câu 1 điểm và 2 câu 0,25 điểm nên số cách chọn là\(C_4^2 = 6\)

Số cách chọn đáp án: 2 câu được 1 điểm mỗi câu có 1 cách ; 2 câu được 0,25 điểm mỗi câu có 6 cách

Tổng số cách ở trường hợp này là  \(6.\left( {{1^2}{{.6}^2}} \right) = 216\)(cách)

Trường hợp 3: Bộ điểm \(\left\{ {1;0,5;0,5;0,5} \right\}\)

Số cách chọn vị trí câu hỏi: Chọn 1 câu 1 điểm và 3 câu 0,5 điểm có số cách chọn là \(C_4^1 = 4\).

Số cách khoanh đáp án: 1 câu được 1 điểm có 1 cách; 3 câu được 0,5 điểm mỗi câu có 4 cách

Tổng số cách ở trường hợp này là \(4.\left( {{1^1}{{.4}^3}} \right) = 256\) (cách)

Vậy không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = 48 + 216 + 256 = 520\)(cách)

Gọi \(A\) là biến cố “Có đúng 2 câu đạt 1 điểm” nên \(n\left( A \right) = 48 + 216 = 264\)

Vậy xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{264}}{{520}} \approx 0,51\)

Gọi \(r\) là mức hoa hồng \(\left( \%  \right)\) công ty đưa ra. Thu nhập của đội ngũ kinh doanh là hiệu số giữa tiền hoa hồng nhận được và chi phí hoạt động:

\(I\left( x \right) = \frac{r}{{100}}.S\left( x \right) - C\left( x \right) = \frac{r}{{100}}.8000\sqrt x  - 0,5{x^2} = 80r\sqrt x  - 0,5{x^2}\,\left( {x > 0} \right)\)

Giá trị \(x\)làm cho \(I{\left( x \right)_{\max }}\)là : \[I'\left( x \right) = \frac{{40r}}{{\sqrt x }} - x = 0 \Rightarrow x\left( r \right) = \sqrt[3]{{{{\left( {40r} \right)}^2}}}\]

Công ty hưởng phần : \(\left( {1 - r} \right).S\left( x \right)\)

Thay \(x = x\left( r \right)\)vào \( \Rightarrow L\left( r \right) = \left( {1 - r\% } \right).8000\sqrt {\sqrt[3]{{{{\left( {40r} \right)}^2}}}} \)

Dùng

Bản biến thiên:

Để tối đa hóa lợi nhuận thì công ty cần đặt ra mức hoa hồng là \(25\% \)