Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh \[a\] và \[SA \bot \left( {ABC} \right)\]. Biết rằng khoảng cách từ điểm \[A\] đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng \[\frac{{3a}}{4}\]. Tính \[\tan \alpha \] với \[\alpha \] là góc tạo bởi giữa cạnh \[SB\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\]

Gọi \(x,\,y\) lần lượt là số bàn và số ghế mà người thợ này làm trong một tuần \(\left( {x,\,y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Làm một cái bàn mất 6 giờ, một cái ghế mất 4 giờ. Tổng thời gian không quá \(48\) giờ/tuần nên ta có bất phương trình: \(6x + 4y \le 48 \Leftrightarrow 3x + 2y \le 24\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Tổng số bàn và số ghế không quá 10 cái: \(x + y \le 10\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Khách hàng yêu cầu người thợ mộc làm số ghế nhiều nhất là hơn số bàn\(3\)cái (nghĩa là số ghế trừ số bài không vượt quá 3 cái) : \(y - x \le 3 \Leftrightarrow - x + y \le 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)
Số lượng sản phẩm không âm: \(x \ge 0,\,y \ge 0\,\left( 4 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right),\,\left( 4 \right)\)ta có hệ bất phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 2y \le 24}\\{x + y \le 10}\\{ - x + y \le 3}\\{x \ge 0,\,y \ge 0}\end{array}} \right.\,\]
Mỗi cái bàn lãi 240 nghìn đồng, mỗi cái ghế lãi 160 nghìn đồng.
Tổng tiền lãi \(F\left( {x,\,y} \right)\) là :\(F\left( {x,\,y} \right)\, = \,240x + 160y\)

Ta có miền nghiệm của bất phương trình là ngũ giác \(OABCD\)
Trong đó \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;3} \right),\,B\left( {3,5;6,5} \right),\,C\left( {4;6} \right),\,D\left( {8;0} \right)\)
Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( {0;3} \right)\, \Rightarrow F\left( {x,y} \right) = 480\\B\left( {3,5;6,5} \right) \Rightarrow F\left( {x,y} \right) = 1880\\C\left( {4;6} \right) \Rightarrow F\left( {x,y} \right) = 1920\\D\left( {8;0} \right) \Rightarrow F\left( {x,y} \right) = 1920\end{array} \right.\) suy ra \(F{\left( {x;\,y} \right)_{\max }} = 1920\)

Từ giả thiết của đề bài: \(\frac{{{x_M} - {x_N}}}{4} = \frac{{{y_M} - {y_N}}}{2} = \frac{{{z_M} - {z_N}}}{1} = k\)\( \Rightarrow \overrightarrow {NM} = \left( {4k;2k;k} \right)\).
Vì \(M \in \left( P \right)\) và \(N \in \left( Q \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} + 2{y_M} - 2{z_M} - 7 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_N} + 2{y_N} - 2{z_N} + 5 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Lấy \(\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\) ta được: \(\left( {{x_M} - {x_N}} \right) + 2\left( {{y_M} - {y_N}} \right) - 2\left( {{z_M} - {z_N}} \right) - 12 = 0\)
Thay tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {NM} \) ta có: \(4k + 2\left( {2k} \right) - 2\left( k \right) - 12 = 0\)\( \Leftrightarrow 6k = 12 \Leftrightarrow k = 2\)
Vậy \(\overrightarrow {NM} = \left( {8;4;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 8;\, - 4;\, - 2} \right)\)nên \(MN = \sqrt {{{\left( { - 8} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {84} = 2\sqrt {21} \).
Tổng quãng đường electron cần đi là: \(S = AM + MN + NB\).
Vì \(MN = 2\sqrt {21} \) là một hằng số không đổi nên để quãng đường \(S\) ngắn nhất ta chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của tổng \(AM + NB\).
Chọn một điểm \(A'\) sao cho \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} \) thì \(A' = A + \overrightarrow {MN} = \left( {4 - 8;3 - 4;0 - 2} \right) \Rightarrow A' = \left( { - 4;\, - 1;\, - 2} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} \) nên tứ giác \(AA'NM\)là một hình bình hành.
Tính chất hình bình hành cho ta độ dài \(AM = A'N\).
Thay tọa độ \(A'\) và \(B\) vào mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì ta thấy hai điểm này nằm khác phía nhau
Lúc này, tổng cần tìm cực trị trở thành: \(AM + NB = A'N + NB \ge A'B = \sqrt {74} \).
Vậy tổng quãng đường ngắn nhất của electron là:
\({S_{\min }} = A'B + MN = \sqrt {74} + 2\sqrt {21} = 17,767 \approx 17,8{\rm{(m)}}\)