Trong không gian \(Oxyz\)(đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí \(I\left( {2;\, - 1;\,4} \right)\). Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là \(5\)km

Xét mệnh đề a)

Ta có \[P\left( A \right) = 0,6 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 0,4;\,\,P\left( B \right) = 0,5 \Rightarrow P\left( {\bar B} \right) = 0,5\] và \[P\left( {AB} \right) = 0,4\]

Vì \[P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right)\] nên \[A,B\] không độc lập nên mệnh đề a) sai

Xét mệnh đề b)

Do \(A\overline B \) và \(\overline A B\) là hai biến cố xung khắc nên xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là:

\[P\left( {A\bar B} \right) + P\left( {\bar AB} \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,6 - 0,4 + 0,5 - 0,4 = 0,3\] nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Xác suất công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty đã thắng thầu dự án 1 là:

\[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {BA} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,4}}{{0,6}} = \frac{2}{3}\] nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Xác suất công ty thắng thầu dự án 2, biết công ty đã không thắng thầu dự án 1 là:

\[P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{{P\left( {B\bar A} \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}} = \frac{{0,5 - 0,4}}{{0,4}} = 0,25\]

Vậy xác suất công ty không thắng thầu dự án 2, biết công ty đã không thắng thầu dự án 1 là

\(P\left( {\overline B \left| {\overline A } \right.} \right) = 1 - P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 1 - 0,25 = 0,75\) nên mệnh đề d) sai

Theo giả thiết, \(x \in \left( {0;10} \right]\).

Khi đó lợi nhuận của siêu thị được xác định bởi :

\({L_1}\left( x \right) = x\left( {150 - x} \right) - \left( {{x^2} + 10x + 100} \right) - mx =  - 2{x^2} + \left( {140 - m} \right)x - 100\)

Với \(x\left( {150 - x} \right)\) là doanh thu tính cho \(x\) sản phẩm, \({x^2} + 10x + 100\) là chi phí tính cho \(x\) sản phẩm và \(mx\) là chi phí nhập hàng tính cho \(x\) sản phẩm.

Khảo sát hàm số: \({L_1}^\prime \left( x \right) =  - 4x + 140 - m = 0 \Rightarrow x = \frac{{140 - m}}{4}\) với \(x \in \left( {0;10} \right]\).

Mặt khác, lợi nhuận của nông trại được xác định bởi :

\({L_2}\left( m \right) = mx - 20x = x\left( {m - 20} \right) = \left( {\frac{{140 - m}}{4}} \right)\left( {m - 20} \right)\)

Với \(mx\) là doanh thu của nông trại tính cho \(x\) sản phẩm và \(20x\) là chi phí gốc để trồng và thu hoạch dâu tây tính cho \(x\) sản phẩm.

Khảo sát hàm số ta được \(m = 80 \Rightarrow x = 15 \notin \left( {0;10} \right]\).

Với \(x = 10 \Rightarrow m = 100 \Rightarrow L\left( m \right) = 800\) (triệu đồng)

Vậy với \(m = 100\) triệu đồng/tạ thì nông trại đạt lợi nhuận lớn nhất.