Tập nghiệm của bất phương trình \({2^{x - 3}} < {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{x + 1}}\) là

Gọi \(A\)là biến cố cổ phiếu A giảm giá, \(B\)là biến cố cổ phiếu B giảm giá.

Ta có: \(P\left( A \right) = 0,3\); \(P\left( B \right) = 0,5\); \(P\left( {A \cap B} \right) = 0,1\)

Từ đây, ta chia không gian mẫu thành 4 trạng thái rời nhau:

Trạng thái \({C_1}\)( A và B cùng giảm): \(P\left( {{C_1}} \right) = P\left( {A \cap B} \right) = 0,1\)

Trạng thái \({C_2}\)(Chỉ A giảm): \(P\left( {{C_2}} \right) = P\left( A \right) - P\left( {A \cap B} \right) = 0,2\)

Trạng thái \({C_3}\)(Chỉ B giảm): \(P\left( {{C_3}} \right) = P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) = 0,4\)

Trạng thái \({C_4}\)(Cae A và B đều không giảm): \(P\left( {{C_4}} \right) = 1 - P\left( {A \cup B} \right) = 1 - \left( {0,3 + 0,5 - 0,1} \right) = 0,3\)

Gọi \(M\) là biến cố nhà đầu tư bị gọi ký quỹ (Call Margin).

Các xác suất có điều kiện tương ứng với từng trạng thái được cho trong bảng:

\[P\left( {M|{C_1}} \right) = 100\%  = 1;\,P\left( {M|{C_2}} \right) = 60\%  = 0,6;\,P\left( {M|{C_3}} \right) = 45\%  = 0,45;\,P\left( {M|{C_4}} \right) = 0\%  = 0\]

\(P\left( M \right) = P\left( {{C_1}} \right).P\left( {M|{C_1}} \right) + P\left( {{C_2}} \right).P\left( {M|{C_2}} \right) + P\left( {{C_3}} \right).P\left( {M|{C_3}} \right) + P\left( {{C_4}} \right).P\left( {M|{C_4}} \right)\)

\[ = \left( {0,1.1} \right) + \left( {0,2.0,6} \right) + \left( {0,4.0,45} \right) + \left( {0,3.0} \right) = 0,4\]

Xác suất để cả hai cổ phiếu cùng giảm khi biết rằng nhà đầu tư đã bị gọi ký quỹ là: $P\left(C_1|M\right)=\frac{P\left(C_1\cap M\right)}{P\left(M\right)}=\frac{P\left(C_1\right).P\left(M|C_1\right)}{P\left(M\right)}=\frac{\mathrm{0,1.1}}{\mathrm{0,4}}=\boxed{\mathrm{0,25}}$

Gọi bảng \(3 \times 3\)có cấu trúc như hình vẽ bên dưới:

Để các hàng và cột là cấp số cộng, ta có các hệ thức thỏa điều kiện:
Hàng \(a + b = 2m\) \(q + n = 2o\) \(d + c = 2p\)
Cột \(a + d = 2q\) \(m + p = 2o\) \(b + c = 2n\)
Đường chéo \(a + c = 2o\) \(b + d = 2o\)
Từ các hệ thức trên, ta suy ra \(a + c = b + d = 2o\)
Điều này có nghĩa là tổng các cặp số ở góc đối diện phải bằng nhau và bằng 2 lần số ở tâm bảng
Để \(m,n,p,q,o\)là các số nguyên, thì \(a,b,c,d\)phải cùng tính chẵn lẽ
Ta cần tìm các bộ bốn số \(\left\{ {a;b;c;d} \right\}\) phân biệt từ tập \(S\)thỏa mãn điều kiện \(a + c = b + d = 2o\) sao cho các số trung điểm sinh ra cũng thuộc \(S\) và phân biệt
Trường hợp 1: Các số ở góc\(a,b,c,d\)là số chẵn. Tập các số chẵn là:\({S_C} = \left\{ {2;4;6;8;10;12} \right\}\)
Các bộ từ tập chẵn sao cho \(\left( {a + c = b + d} \right)\):
\(\left\{ {2;4;8;10} \right\}\) với \(2 + 10 = 4 + 8 = 12 \Leftrightarrow o = 6\) (thỏa mãn)
\(\left\{ {2;4;10;12} \right\}\)với \(2 + 12 = 4 + 10 = 14 \Leftrightarrow o = 7\)(thỏa mãn)
\(\left\{ {2;6;8;12} \right\}\)với \(2 + 12 = 6 + 8 = 14 \Leftrightarrow o = 7\)(thỏa mãn)
\(\left\{ {4;6;10;12} \right\}\)với \(4 + 12 = 6 + 10 = 16 \Leftrightarrow o = 8\)(thỏa mãn)
Trường hợp 2: Các số ở góc\(a,b,c,d\) là số lẻ. Tập các số lẽ là:\({S_L} = \left\{ {1;3;5;7;9;11} \right\}\)
Các bộ từ tập lẽ sao cho \(\left( {a + c = b + d} \right)\):
\(\left\{ {1;3;7;9} \right\}\) với \(1 + 9 = 3 + 7 = 10 \Leftrightarrow o = 5\) (thỏa mãn)
\(\left\{ {1;3;9;11} \right\}\)với \(1 + 11 = 3 + 9 = 12 \Leftrightarrow o = 6\)(thỏa mãn)
\(\left\{ {1;5;7;11} \right\}\)với \(1 + 11 = 5 + 7 = 12 \Leftrightarrow o = 6\)(thỏa mãn)
\(\left\{ {3;5;9;11} \right\}\)với \(3 + 11 = 5 + 9 = 14 \Leftrightarrow o = 7\)(thỏa mãn)
Tổng cộng có \(8\)bộ số ở góc thỏa mãn
Với mỗi bộ 4 số góc, ta có các cách xếp vào bảng như sau:
Chọn một trong bốn góc để đặt số nhỏ nhất: Có \(C_4^1 = 4\)(cách)
Chọn vị trí cho số nhỏ thứ hai trong bộ bốn góc (phải kề với số nhỏ nhất để đảm bảo tính CSC): Có \(C_2^1 = 2\)(cách)
Khi 2 góc kề nhau đã định, các vị trí còn lại (bao gồm cả tâm \(o\) và các số trung điểm) là duy nhất để thỏa mãn quy tắc cấp số cộng
Vậy mỗi bộ số có: \(4.2 = 8\)(cách xếp)
Số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là: \(T = 8.8 = 64\). Suy ra $100T=100.64=\boxed{6400}$