Xác định \(x\) để 3 số \(2x - 1;{\rm{ }}x;{\rm{ }}2x + 1\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

Từ dữ kiện đề bài, ta xác định được: trạm phòng thủ có tọa độ \(M\left( {1;2;3} \right)\).
Vùng năng lượng bảo vệ (khối cầu\(S\)): có tâm \(I\left( {5;2;3} \right)\) và bán kính\(R = \sqrt 4 = 2\).
Mảnh rác vũ trụ \(N\)thuộc đường thẳng \(\Delta \) nên tọa độ của \(N\)theo tham số \(t\)là: \[N\left( {9;t;9 - t} \right)\]
Khoảng cách \(MN\)và điều kiện để tia laser không xuyên qua khối cầu.
Vectơ \(\overrightarrow {MN} = \left( {8;t - 2;6 - t} \right) \Rightarrow M{N^2} = {8^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( {6 - t} \right)^2} = 2{t^2} - 16t + 104\) và \(\overrightarrow {MI} = \left( {4;0;0} \right)\)
Để đảm bảo an toàn, khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(MN\)phải lớn hơn hoặc bằng bán kính \(R\):
\(d\left( {I,MN} \right) \ge R \Leftrightarrow \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {MN} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|}} \ge 2 \Leftrightarrow \frac{{{0^2} + {{\left( {4t - 24} \right)}^2} + {{\left( {4t - 8} \right)}^2}}}{{2{t^2} - 16t + 104}} \ge {2^2} \Leftrightarrow 3{t^2} - 24t + 28 \ge 0\)
Xét hàm số\(f\left( t \right) = M{N^2} = 2{t^2} - 16t + 104\). Đây là một parabol có đỉnh tại\(t = 4\).
Tuy nhiên, tại \(t = 4\)thì \({3.4^2} - 24.4 + 28 = - 20 < 0\)(không thỏa mãn điều kiện an toàn).
Do đó, giá trị \(MN\)nhỏ nhất sẽ đạt được tại biên của vùng an toàn, tức là khi:
\(3{t^2} - 24t + 28 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{12 - 2\sqrt {15} }}{3}\left( n \right)}\\{t = \frac{{12 + 2\sqrt {15} }}{3}\left( l \right)}\end{array}} \right.\)
Thay vào biểu thức\(M{N^2}\):

$f\left(\frac{12-2\sqrt{15}}{3}\right)=2{\left(\frac{12-2\sqrt{15}}{3}\right)}^2-16\left(\frac{12-2\sqrt{15}}{3}\right)+104=\frac{256}{3}\Rightarrow MN=\sqrt{\frac{256}{3}}.100\approx \boxed{924}$ km

Gọi \(x\) là số triệu đồng tăng thêm trên giá thuê mỗi căn biệt thự mỗi ngày \(\left( {x \ge 0} \right)\).
Vì cứ tăng thêm 1 triệu đồng thì có 10 căn bỏ trống, nên khi tăng \(x\) triệu đồng:
Giá thuê mỗi căn: \(10 + x\) (triệu đồng/ngày).
Số căn biệt thự có khách thuê: \(200 - 10x\) (căn); Số căn biệt thự bỏ trống: \(10x\) (căn).
Điều kiện: \(200 - 10x \ge 0 \Rightarrow 0 \le x \le 20\).
Lợi nhuận hàng ngày \[\left( {f\left( x \right)} \right)\]được tính bằng: Tổng doanh thu - Tổng chi phí vận hành - Tổng chi phí bảo trì.
Doanh thu: \[\left( {10 + x} \right)\left( {200 - 10x} \right)\]
Chi phí vận hành (căn có khách): \(2,5.(200 - 10x)\)
Chi phí bảo trì (căn trống): \(0,5.10x = 5x\)
Ta có hàm số lợi nhuận \(f\left( x \right) = \left( {10 + x} \right)\left( {200 - 10x} \right) - 2,5\left( {200 - 10x} \right) - 5x = - 10{x^2} + 120x + 1500\)
Đây là một hàm bậc hai có đồ thị là một parabol quay bề lõm xuống dưới. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol: \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{120}}{{2.\left( { - 10} \right)}} = 6\)
Với \(x = 6\), khu nghỉ dưỡng tăng giá thuê thêm 6 triệu đồng mỗi căn. Vậy mức giá thuê mỗi căn biệt thự để đạt lợi nhuận cao nhất là:$10+6=\boxed{16}$ triệu đồng