Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), tia phân giác của \(\widehat B\) cắt \(AC\) tại \(D\). Kẻ \(DH \bot BC\)\(\left( {H \in BC} \right)\).

a) Chứng minh: \(AB = BH\)và \(BD \bot AH\)                                            

b) Chứng minh: \(DC > AD\).

c) Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(BA\) và đường thẳng \(HD\), \(M\) là trung điểm của \(IC\). Chứng minh: Ba điểm \(B;D;M\) thẳng hàng.

  Viết GT, KL

 a) Chứng minh: \(AB = BH\).

Do \(DH \bot BC\) tại \(H\) nên \(\widehat {BHD} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta ABD\)và \(\Delta HBD\)có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {BHD} = 90^\circ \)

\(BD\) là cạnh chung

\[\widehat {ABD} = \widehat {HBD}\] (\(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\))

Suy ra \(\Delta ABD = \Delta HBD\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra  \(AD = DH\)và \(AB = BH\)(hai cạnh tương ứng)

Suy ra \(BD\) là đường trung trực của \(AH\)

Suy ra \(BD \bot AH\)

 b) Theo câu a: \(\Delta ABD = \Delta HBD\) suy ra \(AD = DH\,;\,\,AB = BH\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \[\Delta DHC\] vuông tại \[H\]: \[\widehat {DHC}\] là góc lớn nhất

Suy ra cạnh \[DC\] là cạnh lớn nhất nên \[DC > DH\]

Mà \[DH = DA\] (chứng minh trên) nên \[DC > DA\].

 c) Gọi \(M\) là trung điểm của \(IC\). Chứng minh: Ba điểm \(B;D;M\) thẳng hàng.

Xét \(\Delta BIM\) và \(\Delta BCM\) có:

\(BI = BC\)

\(MI = MC\) (\[M\] là trung điểm của \(IC\))

\(BM\) chung

Suy ra \(\Delta BIM\) \( = \Delta BCM\) (g.c.g)

\( \Rightarrow \widehat {IBM} = \widehat {CBM}\) (2 góc tương ứng)

\( \Rightarrow BM\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\)

Mà \(BD\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\)

Từ đó suy ra \(B;D;M\) thẳng hàng. (đpcm).