Một bồn chứa hình trụ có diện tích đáy \(S = 100\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) đang chứa \(1000\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) hóa chất lỏng. Do sự cố, hóa chất bị rò rỉ ra ngoài qua một lỗ hổng ở đáy. Đồng thời, do nhiệt độ cao, hóa chất cũng bị bốc hơi khỏi bề mặt. Tốc độ rò rỉ tại thời điểm \(t\) (giờ) kể từ lúc bắt đầu sự cố tỉ lệ thuận với căn bậc hai của chiều cao cột chất lỏng \(h\left( t \right)\) còn lại trong bồn: \({v_r}\left( t \right) = 10\sqrt {h\left( t \right)} \) (\({{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)/giờ). Tốc độ bốc hơi tỉ lệ thuận với diện tích bề mặt tiếp xúc (là đáy trên của hình trụ) và thay đổi theo thời gian: \({v_b}\left( t \right) = \frac{{200}}{{t + 1}}\) (\({{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)/giờ). Gọi \(V\left( t \right)\) là thể tích hóa chất còn lại trong bồn tại thời điểm \(t\) (giờ). Biết \(V\left( 0 \right) = 1000\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

a) Ta có chiều cao bồn chứa hình trụ là \(h = \frac{V}{S} = \frac{{1000}}{{100}} = 10\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Tốc độ giảm thể tích tổng cộng của hóa chất trong bồn là

\({v_g}\left( t \right) = {v_r}\left( t \right) + {v_b}\left( t \right) = 10\sqrt {h\left( t \right)}  + \frac{{200}}{{t + 1}}\)

Ta có \({v_g}\left( 0 \right) = {v_r}\left( 0 \right) + {v_b}\left( 0 \right) = 10\sqrt {h\left( 0 \right)}  + \frac{{200}}{1}\)

Mà \(h\left( 0 \right) = 10\,\left( {\rm{m}} \right)\) nên ta có \({v_g} = 10\sqrt {10}  + 200 \approx 231,6\,\)(\({{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)/giờ)

Chọn Đúng.

b) Ta có \(V'\left( t \right) =  - {v_g}\)

Mà \(V\left( t \right) = S.h\left( t \right) = 100h\left( t \right)\) suy ra \(V'\left( t \right) = 100h'\left( t \right)\)

Nên ta có \(100h'\left( t \right) =  - 10\sqrt {h\left( t \right)}  - \frac{{200}}{{t + 1}}\)\( \Leftrightarrow h' =  - 0,1\sqrt h  - \frac{2}{{t + 1}}\) (Do bốc hơi nên chiều cao sẽ giảm nên \(h'\left( t \right) < 0\))

Chọn Đúng

c) Xét hàm số \({v_g}\left( t \right) = 10\sqrt {h\left( t \right)}  + \frac{{200}}{{t + 1}} = f\left( t \right) \Rightarrow f'\left( t \right) = \frac{{10.h'\left( t \right)}}{{2\sqrt {h\left( t \right)} }} - \frac{{200}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} < 0\)( do \(h'\left( t \right) < 0\))

Ta có khi \(t\) tăng thì \(h\left( t \right)\) giảm nên \(10\sqrt {h\left( t \right)} \) giảm

Khi \(t\) tăng thì \(\frac{{200}}{{t + 1}}\) giảm

Vậy \({v_g}\left( t \right)\) giảm

Chọn Sai.

d) Cho \({v_b} = 0\) thì ta có \(h'\left( t \right) =  - \frac{1}{{10}}\sqrt {h\left( t \right)} \)\( \Leftrightarrow \frac{{h'\left( t \right)}}{{2\sqrt {h\left( t \right)} }} =  - \frac{1}{{20}}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta có

\(\int {\frac{{h'\left( t \right)}}{{2\sqrt {h\left( t \right)} }}dt = \int { - \frac{1}{{20}}dt} } \)\( \Leftrightarrow \sqrt {h\left( t \right)}  =  - \frac{1}{{20}}t + C\)

Với \(t = 0\) thì \(h\left( 0 \right) = 10\) ta có \(C = \sqrt {10} \) suy ra \(\sqrt {h\left( t \right)}  =  - \frac{1}{{20}}t + \sqrt {10} \)

Khi \(h = 0\) thì ta có \( - \frac{1}{{20}}t + \sqrt {10}  = 0 \Leftrightarrow t = 20\sqrt {10} \) (giờ)

Chọn Sai