PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Có hai đội thi đấu môn bắn súng. Đội I có 5 vận động viên, đội II có 7 vận động viên. Xác suất đạt huy chương vàng của mỗi vận động viên đội I và đội II lần lượt là \(0,65\) và \(0,55\). Chọn ngẫu nhiên một vận động viên. Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương vàng. Xác suất để vận động viên này thuộc đội I là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Đáp án: 0,97

Cách 1. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung \(EF.\)

Cách 2. Tính gián tiếp

Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD;\) \(M\) là trung điểm của \(CD;\) \(H\) là chân đường cao của tam giác \(SOM\) kẻ từ \(O.\)

Ta có,

$\left.\begin{array}{l}CD\subset \left(SCD\right)\\ AB\Vert CD\subset \left(SCD\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \text{d}(AB,CD)=\text{d}(AB,(SCD\left)\right)=\text{d}(B,(SCD\left)\right)=2\text{d}(O,(SCD\left)\right).$

Mặt khác

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SO \bot (ABCD) \Rightarrow CD \bot SO\\CD \bot OM;SO \cap OM = O\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot (SOM)\\OH \subset (SOM)\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot CD\\OH \bot SM;CD \cap SM = M\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot (SCD)\\ \Rightarrow {\rm{d}}(O,(SCD)) = OH \Rightarrow {\rm{d}}(AB,SD) = 2OH.\end{array}\)

Xét tam giác \(SOD\) vuông tại \(O\) có \(S{O^2} = S{D^2} - O{D^2} = {2^2} - {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{7}{2}\)

Xét tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\) có \(O{H^2} = \frac{{S{O^2}.O{M^2}}}{{S{O^2} + O{M^2}}} = \frac{{\frac{7}{2}.\frac{1}{4}}}{{\frac{7}{2} + \frac{1}{4}}} = \frac{7}{{30}} \Rightarrow OH = \frac{{\sqrt {210} }}{{30}}.\)

Vậy \({\rm{d}}(AB,SD) = 2.\frac{{\sqrt {210} }}{{30}} \approx 0,97.\)

Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ.

Chọn hệ trục như hình vẽ, ta có: \(A\left( {0; - \frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right),B\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),D\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),S\left( {0;0;\frac{{\sqrt {14} }}{2}} \right).\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right);\overrightarrow {DS}  = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0;\frac{{\sqrt {14} }}{2}} \right);\overrightarrow {AD}  = \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right)\\{\rm{d}}(AB,SD) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DS} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DS} } \right]} \right|}} \approx 0,97.\end{array}\).

Đáp án: 5,66

Tiêu điểm là \[A\left( {3;0;0} \right)\]và \[B\left( { - 3;0;0} \right)\] suy ra \[c = 3\]

Tổng khoảng cách từ nó đến hai trạm phát \[A\]và \[B\] cố định bằng 10km suy ra \[MA + MB = 2a = 10 \Rightarrow a = 5\].

Suy ra \[{b^2} = {a^2} - {c^2} \Rightarrow b = 4\].

Phương trình Elip của quỹ đạo vệ tinh \[M\] là \[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\],

\[C{M^2} = {x^2} + {y^2} + 16 = {x^2} + 16\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}} \right) + 16 = \frac{{9{x^2}}}{{25}} + 32 \ge 32\].

Vậy \[CM\] đạt GTNN là \[\sqrt {32}  \approx 5,66{\rm{ khi }}x = 0\].