Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_2} = 4;\,{u_6} = 8\). Tìm số hạng thứ \(100\) của cấp số cộng đó.

Đáp án: \(1560\).

Phần \(O\) tiếp xúc với mọi phần khác, nên ta chọn nó đầu tiên.

- Có 6 cách chọn màu cho \(O\).

- Trường hợp 1: \(A\) và \(C\) cùng màu

Chọn màu cho \(A\): có 5 cách.

Chọn màu cho \(C\): có 1 cách (phải giống \(A\)).

Chọn màu cho \(B\): \(B\)tiếp giáp \(O,A,C\). Vì \(A\) và \(C\)cùng màu, nên \(B\)chỉ cần khác màu \(O\)và màu của \(\{ A,C\} \). Vậy \(B\) có \(5 - 1 = 4\) cách.

Chọn màu cho \(D\): Tương tự \(B\), \(D\) tiếp giáp \(O,A,C\). \(D\) có \(5 - 1 = 4\) cách.

Số cách cho TH1: \(5 \times 1 \times 4 \times 4 = 80\) cách.

- Trường hợp 2: \(A\) và \(C\) khác màu

Chọn màu cho \(A\): có 5 cách.

Chọn màu cho \(C\): có 4 cách (khác \(O\) và khác \(A\)).

Chọn màu cho \(B\): \(B\) tiếp giáp \(O,A,C\). Vì \(A,C\) khác màu nhau và cùng khác \(O\), nên \(B\) phải khác 3 màu này. Vậy \(B\) có \(5 - 2 = 3\) cách.

Chọn màu cho \(D\): Tương tự, \(D\) cũng phải khác màu \(O,A,C\). Vậy \(D\) có \(5 - 2 = 3\) cách.

Số cách cho TH2: \(5 \times 4 \times 3 \times 3 = 180\) cách.

- Kết hợp với 6 cách chọn màu cho \(O\), tổng số cách tô màu thỏa mãn yêu cầu là:\(6.\left( {80 + 180} \right) = 1560\)

- Đáp số: Bác Huy có 1560 cách tô màu.

Chọn gốc tọa độ tại trung điểm \(M\) của\(AB\) ta có:

\[A( - 9,{\rm{ }}0,{\rm{ }}0)\];\[B(9,0,0)\]; \[C\left( {0,{\rm{ }}3,{\rm{ }}0} \right);G\left( {0,{\rm{ }}1,{\rm{ }}0} \right)\].

Ta có \(AE = 3AG\) suy ra \(E = A + \overrightarrow {AE}  = ( - 9 + 27,0 + 3,0) = (18,3,0)\).

Vì \(A'A = A'B = 15\), hình chiếu của \(A'\) xuống đáy nằm trên trục \(Oy\). Gọi \(A'(0,y,z)\).

\(A'{A^2} = {(0 + 9)^2} + {y^2} + {z^2} = {15^2} = 225 \Rightarrow {y^2} + {z^2} = 144\)

Chọn \(A'(0,0,12)\) suy ra \(\overrightarrow {AA'}  = (0 - ( - 9),0 - 0,12 - 0) = (9,0,12)\)

Tọa độ \(B' = B + \overrightarrow {AA'}  = (9 + 9,0 + 0,0 + 12) = (18,0,12)\).

·         Đường thẳng \(A'G\): Đi qua \(A'(0,0,12)\), VTCP \(\vec u = \overrightarrow {A'G}  = (0,1, - 12)\).

·         Đường thẳng \(B'E\): Đi qua \(B'(18,0,12)\), VTCP \(\vec v = \overrightarrow {B'E}  = 3(0,1, - 4)\).

Tính khoảng cách:

1.      Tích có hướng:\([\vec u,\vec v] = (8,0,0)\).

2.      Vectơ nối hai đường thẳng: \(\overrightarrow {A'B'}  = (18,0,0)\).

3.      Áp dụng công thức:

\(d(A'G,B'E) = \frac{{|[\vec u,\vec v] \cdot \overrightarrow {A'B'} |}}{{|[\vec u,\vec v]|}} = \frac{{|8 \cdot 18 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0|}}{{\sqrt {{8^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{8 \cdot 18}}{8} = 18\).

Đáp án: \(18\).