Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \((d):\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{x + 2}}{1}\) và mặt phẳng \((P):3x - y + z - 25 = 0\). Một đường thẳng \((d')\) cắt trục \(Oz\) tại điểm \(M\), cắt đường thẳng \((d)\) tại điểm \(N\) và \((d')\) song song với mặt phẳng \((P)\). Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng \(MN\) bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Chọn gốc tọa độ tại trung điểm \(M\) của\(AB\) ta có:

\[A( - 9,{\rm{ }}0,{\rm{ }}0)\];\[B(9,0,0)\]; \[C\left( {0,{\rm{ }}3,{\rm{ }}0} \right);G\left( {0,{\rm{ }}1,{\rm{ }}0} \right)\].

Ta có \(AE = 3AG\) suy ra \(E = A + \overrightarrow {AE}  = ( - 9 + 27,0 + 3,0) = (18,3,0)\).

Vì \(A'A = A'B = 15\), hình chiếu của \(A'\) xuống đáy nằm trên trục \(Oy\). Gọi \(A'(0,y,z)\).

\(A'{A^2} = {(0 + 9)^2} + {y^2} + {z^2} = {15^2} = 225 \Rightarrow {y^2} + {z^2} = 144\)

Chọn \(A'(0,0,12)\) suy ra \(\overrightarrow {AA'}  = (0 - ( - 9),0 - 0,12 - 0) = (9,0,12)\)

Tọa độ \(B' = B + \overrightarrow {AA'}  = (9 + 9,0 + 0,0 + 12) = (18,0,12)\).

·         Đường thẳng \(A'G\): Đi qua \(A'(0,0,12)\), VTCP \(\vec u = \overrightarrow {A'G}  = (0,1, - 12)\).

·         Đường thẳng \(B'E\): Đi qua \(B'(18,0,12)\), VTCP \(\vec v = \overrightarrow {B'E}  = 3(0,1, - 4)\).

Tính khoảng cách:

1.      Tích có hướng:\([\vec u,\vec v] = (8,0,0)\).

2.      Vectơ nối hai đường thẳng: \(\overrightarrow {A'B'}  = (18,0,0)\).

3.      Áp dụng công thức:

\(d(A'G,B'E) = \frac{{|[\vec u,\vec v] \cdot \overrightarrow {A'B'} |}}{{|[\vec u,\vec v]|}} = \frac{{|8 \cdot 18 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0|}}{{\sqrt {{8^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{8 \cdot 18}}{8} = 18\).

Đáp án: \(18\).

Đáp án: 6129

Bước 1: Thiết lập hệ tọa độ và phương trình các đường

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) có gốc \(O\) là tâm hình vuông. Tọa độ các đỉnh: \(A\left( { - 2;2} \right),D\left( {2;2} \right),C\left( {2; - 2} \right),B\left( { - 2; - 2} \right)\).

Parabol E có đỉnh \(E\left( {0;1} \right)\) đi qua \(C\left( {2; - 2} \right)\) và \(B\left( { - 2; - 2} \right)\): \(y =  - \frac{3}{4}{x^2} + 1\).

Parabol P có đỉnh \(P\left( {0; - 1} \right)\) đi qua \(D\left( {2;2} \right)\) và \(A\left( { - 2;2} \right)\): \(y = \frac{3}{4}{x^2} - 1\).

Đường thẳng đối xứng: \(y = x\).

Xác định các giao điểm:

Giao điểm của Parabol \(E\) và \(y = x\): \( - \frac{3}{4}{x^2} + 1 = x \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\).

Giao điểm của Parabol \(E\) và Parabol \(P\): \( - \frac{3}{4}{x^2} + 1 = \frac{3}{4}{x^2} - 1 \Leftrightarrow \frac{3}{2}{x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\).

Bước 2: Tính diện tích miền \(H\) (\(1/8\) phần gạch chéo)

Diện tích miền \(H\) được tính theo công thức \(\)

Tích phân thứ nhất \(\left( {{S_{H1}}} \right)\): \({S_{H1}} = \int_{2/3}^{2/\sqrt 3 } {\left[ {x - \left( { - \frac{3}{4}{x^2} + 1} \right)} \right]} dx \approx 0,267...\)\(\)

Tích phân thứ hai \(\left( {{S_{H2}}} \right)\): \({S_{H2}} = \int_{2/\sqrt 3 }^2 {\left[ {x - \left( {\frac{3}{4}{x^2} - 1} \right)} \right]} dx \approx 0,563...\)\(\)

Nên \[{S_H} = {S_{H1}} + {S_{H2}} \approx 0,831\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\]\(\)

Bước 3: Tính tổng diện tích và chi phí

Diện tích phần sơn màu đỏ: \({S_D} = 8 \times {S_H} \approx 6,646...\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích phần sơn màu trắng: \({S_T} \approx 16 - {S_D} = 9,35...\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Tổng số tiền bác Tuấn cần:

\(T \approx {S_D} \times 500 + {S_T} \times 300 \approx 6129\).

Làm tròn đến hàng đơn vị, bác Tuấn cần 6129 nghìn đồng.