Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên các trục là mét), mặt sân quảng trường trùng với mặt phẳng (\(Oxy\)). Một tác phẩm nghệ thuật hình cầu (\(S\)) có phương trình

\({(x + 10\sqrt 3 )^2} + {y^2} + {(z - 30)^2} = 100\).

Xét tại thời điểm 14h, lúc này phương của các tia nắng mặt trời được xác định bởi vectơ \(\vec u = (1;0; - \sqrt 3 )\).

Chọn a) Đúng | b) Đúng c) Sai | d) Đúng

Phương trình mặt cầu (\(S\)) là \({(x + 10\sqrt 3 )^2} + {y^2} + {(z - 30)^2} = 100\).

Từ phương trình này, ta xác định được tâm \(I\) và bán kính \(R\):

Tâm \(I( - 10\sqrt 3 ;0;30)\).

Bán kính \(R = \sqrt {100}  = 10\) (m).

Vector chỉ phương của tia nắng là \(\vec u = (1;0; - \sqrt 3 )\).

a) Mặt cầu (\(S\)) có tâm \(I( - 10\sqrt 3 ;0;30)\) và bán kính \(R = 10\) (m).

Dựa vào phương trình mặt cầu đã cho, tâm \(I\) là \(( - 10\sqrt 3 ;0;30)\) và bán kính \(R = \sqrt {100}  = 10\).

Chọn ĐÚNG

b) Phương trình đường thẳng chứa tia nắng đi qua tâm mặt cầu là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 10\sqrt 3  + t}\\{y = 0}\\{z = 30 - \sqrt 3 t}\end{array}} \right.\).

Đường thẳng chứa tia nắng đi qua tâm mặt cầu \(I( - 10\sqrt 3 ;0;30)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = (1;0; - \sqrt 3 )\).

Phương trình tham số của đường thẳng này là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 10\sqrt 3  + t}\\{y = 0}\\{z = 30 - \sqrt 3 t}\end{array}} \right.\).

Chọn ĐÚNG.

c) Gọi \(K\) là hình chiếu của tâm \(I\) theo phương tia nắng trên mặt sân, khi đó \(K(10\sqrt 3 ;0;0)\).

\(K\) là hình chiếu của tâm \(I\) theo phương tia nắng trên mặt sân. Mặt sân trùng với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), có phương trình \(z = 0\).

Để tìm tọa độ điểm \(K\), ta thay \(z = 0\) vào phương trình đường thẳng chứa tia nắng đi qua \(I\):

\(30 - \sqrt 3 t = 0 \Rightarrow t = 10\sqrt 3 \).

Thay \(t = 10\sqrt 3 \) vào ta được: \(K(0;0;0)\).

Chọn SAI

d) Biết rằng hình chiếu của mặt cầu lên mặt sân là một elip, tiêu cự của elip bằng \(\frac{{20}}{{\sqrt 3 }}\).

Hình chiếu của mặt cầu lên mặt sân (mặt phẳng \(Oxy\)) theo phương tia nắng \(\vec u = (1;0; - \sqrt 3 )\) là một elip.

Gọi \(\phi \) là góc giữa \(\vec u\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Vector pháp tuyến của \(\left( {Oxy} \right)\) là \(\vec n = (0;0;1)\).

Góc \(\theta \) giữa \(\vec u\) và \(\vec n\) được tính bởi \(\cos \theta  = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}}\)\( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra  $\theta ={30}^{°}$

Góc \(\phi \) giữa \(\vec u\) và mặt phẳng \(Oxy\) là $\varphi ={90}^{°}-\theta ={90}^{°}-{30}^{°}={60}^{°}$

Hình chiếu của mặt cầu là một elip có bán trục nhỏ \(b = R = 10\).

Bán trục lớn $a=\frac{R}{\sin \varphi }=\frac{10}{\sin {60}^{°}}=\frac{20}{\sqrt{3}}$

Tiêu cự của elip là \(2c\), với \({c^2} = {a^2} - {b^2}\)\( = {\left( {\frac{{20}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} - {10^2} = \frac{{100}}{3}\).

\( \Rightarrow c = \frac{{10}}{{\sqrt 3 }}\).

Tiêu cự \(2c = 2 \cdot \frac{{10}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }}\).

Chọn ĐÚNG.