PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một Pikachu khám phá "mê cung kỳ lạ" trong mặt phẳng \(Oxy\), xuất phát từ \(O\) và bước đi vô hạn bước theo quy luật sau:

Ÿ Bước đầu tiên: Dài \(8\)đơn vị theo tia \(Ox\).

Ÿ Các bước sau: Luôn rẽ trái \[90^\circ \] so với bước liền trước và dài bằng \(\frac{3}{4}\) bước liền trước.

(tham khảo hình bên)

Biết rằng, với hành trình như trên thì Pikachu sẽ tiến đến điểm\(M\). Độ dài đoạn thẳng \(OM\) bằng bao nhiêu đơn vị?

Đáp án: \(6,4\).

Hướng đi của Pikachu hiểu nôm na như sau:

B1: Tăng \(x\)\( \to \) B2: Tăng \(y\)\( \to \) B3: Giảm \(x'\)\( \to \) B4: Giảm \(y'\)….

Giá trị dịch chuyển:

Gọi \({d_n}\) là độ dài của bước thứ\(n\). Theo đề bài:

\[{d_1} = 8;{d_2} = 8 \cdot \left( {\frac{3}{4}} \right);{d_3} = 8 \cdot {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2},...,{d_n} = 8 \cdot {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{n - 1}}\].

Tọa độ điểm \(M\left( {x;y} \right)\) trong đó:

- Hoành độ: \(x = {d_1} - {d_3} + {d_5} - {d_7} +  \ldots  = 8 - 8{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} + 8{\left( {\frac{3}{4}} \right)^4} -  \ldots \) là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({u_1} = 8\) và công bội \(q =  - \frac{9}{{16}}\).

Suy ra \(x = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{8}{{1 - \left( { - \frac{9}{{16}}} \right)}} = \frac{8}{{\frac{{25}}{{16}}}} = \frac{{128}}{{25}}\).

- Tung độ: \(y = {d_2} - {d_4} + {d_6} - {d_8} +  \ldots  = 8\left( {\frac{3}{4}} \right) - 8{\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} + 8{\left( {\frac{3}{4}} \right)^5} -  \ldots \) là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({v_1} = 8.\left( {\frac{3}{4} = 6} \right)\) và công bội \(q =  - \frac{9}{{16}}\).

Suy ra \(y = \frac{{{v_1}}}{{1 - q}} = \frac{6}{{1 - \left( { - \frac{9}{{16}}} \right)}} = \frac{6}{{\frac{{25}}{{16}}}} = \frac{{96}}{{25}}\).

 Độ dài đoạn thẳng OM: \(OM = \sqrt {{{\left( {\frac{{128}}{{25}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{96}}{{25}}} \right)}^2}}  = \frac{{160}}{{25}} = 6,4\).