Một hồ thủy lợi được tại ra để điều hòa giữa lượng nước thu vào (từ các nguồn như nước sông, nước suối, nước mưa, …) và lượng nước xả ra (để tưới tiêu, nuôi trồng thủy sản, …), hồ vận hành an toàn khi thể tích nước bên trong nó nằm trong khoảng từ \(20\,000\,{m^3}\) đến \(60\,000\,{m^3}\). Sau một cơn mưa, người ta quan sát hồ trong 6 giờ liên tục và đo được lưu lượng nước (tức là tốc độ thay đổi lượng nước theo thời gian) trong hồ là: \(Q\left( t \right) = 1000{t^3} - 8000{t^2} + 12\,000t\) (\(t\) có đơn vị là giờ, \(Q\left( t \right)\) có đơn vị là \({m^3}\)/giờ.

Lưu ý: Tại cùng thời điểm

Ÿ \(Q\left( t \right) > 0\) thể hiện lượng nước thu vào lớn hơn lượng nước xả ra.

Ÿ \(Q\left( t \right) < 0\) thể hiện lượng nước thu vào nhỏ hơn lượng nước xả ra.

Biết rằng tại thời điểm bắt đầu quan sát, trong hồ có \(50\,000\,{m^3}\).

Đáp án: 6000.

Gọi parabol \(\left( P \right):{y^2} = 2px\) đi qua điểm \(\left( {30;20} \right)\) \(60p = 400 \Leftrightarrow p = \frac{{20}}{3}\)\( \Rightarrow {y^2} = \frac{{40}}{3}x\).

Thể tích cối là: \(V = \pi \int\limits_0^{30} {\left( {\frac{{40}}{3}x} \right)} dx = 6000\pi  \Rightarrow a = 6000\).

Công thức tính nhanh: \(V = \frac{1}{2}\pi {R^2}h = \frac{1}{2}{.20^2}.30 = 6000\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} \Rightarrow a = 6000\).

Chọn a) Đúng | b) Đúng c) Sai | d) Đúng

Phương trình mặt cầu (\(S\)) là \({(x + 10\sqrt 3 )^2} + {y^2} + {(z - 30)^2} = 100\).

Từ phương trình này, ta xác định được tâm \(I\) và bán kính \(R\):

Tâm \(I( - 10\sqrt 3 ;0;30)\).

Bán kính \(R = \sqrt {100}  = 10\) (m).

Vector chỉ phương của tia nắng là \(\vec u = (1;0; - \sqrt 3 )\).

a) Mặt cầu (\(S\)) có tâm \(I( - 10\sqrt 3 ;0;30)\) và bán kính \(R = 10\) (m).

Dựa vào phương trình mặt cầu đã cho, tâm \(I\) là \(( - 10\sqrt 3 ;0;30)\) và bán kính \(R = \sqrt {100}  = 10\).

Chọn ĐÚNG

b) Phương trình đường thẳng chứa tia nắng đi qua tâm mặt cầu là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 10\sqrt 3  + t}\\{y = 0}\\{z = 30 - \sqrt 3 t}\end{array}} \right.\).

Đường thẳng chứa tia nắng đi qua tâm mặt cầu \(I( - 10\sqrt 3 ;0;30)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = (1;0; - \sqrt 3 )\).

Phương trình tham số của đường thẳng này là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 10\sqrt 3  + t}\\{y = 0}\\{z = 30 - \sqrt 3 t}\end{array}} \right.\).

Chọn ĐÚNG.

c) Gọi \(K\) là hình chiếu của tâm \(I\) theo phương tia nắng trên mặt sân, khi đó \(K(10\sqrt 3 ;0;0)\).

\(K\) là hình chiếu của tâm \(I\) theo phương tia nắng trên mặt sân. Mặt sân trùng với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), có phương trình \(z = 0\).

Để tìm tọa độ điểm \(K\), ta thay \(z = 0\) vào phương trình đường thẳng chứa tia nắng đi qua \(I\):

\(30 - \sqrt 3 t = 0 \Rightarrow t = 10\sqrt 3 \).

Thay \(t = 10\sqrt 3 \) vào ta được: \(K(0;0;0)\).

Chọn SAI

d) Biết rằng hình chiếu của mặt cầu lên mặt sân là một elip, tiêu cự của elip bằng \(\frac{{20}}{{\sqrt 3 }}\).

Hình chiếu của mặt cầu lên mặt sân (mặt phẳng \(Oxy\)) theo phương tia nắng \(\vec u = (1;0; - \sqrt 3 )\) là một elip.

Gọi \(\phi \) là góc giữa \(\vec u\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Vector pháp tuyến của \(\left( {Oxy} \right)\) là \(\vec n = (0;0;1)\).

Góc \(\theta \) giữa \(\vec u\) và \(\vec n\) được tính bởi \(\cos \theta  = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}}\)\( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra  $\theta ={30}^{°}$

Góc \(\phi \) giữa \(\vec u\) và mặt phẳng \(Oxy\) là $\varphi ={90}^{°}-\theta ={90}^{°}-{30}^{°}={60}^{°}$

Hình chiếu của mặt cầu là một elip có bán trục nhỏ \(b = R = 10\).

Bán trục lớn $a=\frac{R}{\sin \varphi }=\frac{10}{\sin {60}^{°}}=\frac{20}{\sqrt{3}}$

Tiêu cự của elip là \(2c\), với \({c^2} = {a^2} - {b^2}\)\( = {\left( {\frac{{20}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} - {10^2} = \frac{{100}}{3}\).

\( \Rightarrow c = \frac{{10}}{{\sqrt 3 }}\).

Tiêu cự \(2c = 2 \cdot \frac{{10}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }}\).

Chọn ĐÚNG.