An chơi trò chơi Minesweeper (gỡ mìn), một trò chơi logic cổ điển, mục tiêu là mở toàn bộ các ô không chứa mìn trên một “bãi mìn” có \(27\) quả mìn ẩn dưới \(27\) ô vuông trong bảng \(9 \times 9\) ô vuông như hình bên. Nếu mở ô chứa mìn thì An thua cuộc, nếu mở ô không chứa mìn thì trong ô này sẽ hiện số tự nhiên \(n\) với \(1 \le n \le 8\) nhằm cảnh báo cho An rằng, trong số \(8\) ô kề quanh ô này có \(n\) ô chứa mìn. Hai ô đầu tiên An mở là ô ngay phía trên và ô ngay phía dưới ô trung tâm, hai số “cảnh báo” mà hai ô này đưa ra lần lượt là \(4\) và \(1\). Nếu ô tiếp theo An mở là ô trung tâm thì xác suất An thua cuộc ngay sau khi mở ô trung tâm là bao nhiêu (không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?Chú ý: Hai ô vuông đơn vị được gọi là kề nhau nếu chúng chung cạnh hoặc chung đỉnh.

Đáp án: 6000.

Gọi parabol \(\left( P \right):{y^2} = 2px\) đi qua điểm \(\left( {30;20} \right)\) \(60p = 400 \Leftrightarrow p = \frac{{20}}{3}\)\( \Rightarrow {y^2} = \frac{{40}}{3}x\).

Thể tích cối là: \(V = \pi \int\limits_0^{30} {\left( {\frac{{40}}{3}x} \right)} dx = 6000\pi  \Rightarrow a = 6000\).

Công thức tính nhanh: \(V = \frac{1}{2}\pi {R^2}h = \frac{1}{2}{.20^2}.30 = 6000\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} \Rightarrow a = 6000\).

Chọn a) Đúng | b) Đúng c) Sai | d) Đúng

Phương trình mặt cầu (\(S\)) là \({(x + 10\sqrt 3 )^2} + {y^2} + {(z - 30)^2} = 100\).

Từ phương trình này, ta xác định được tâm \(I\) và bán kính \(R\):

Tâm \(I( - 10\sqrt 3 ;0;30)\).

Bán kính \(R = \sqrt {100}  = 10\) (m).

Vector chỉ phương của tia nắng là \(\vec u = (1;0; - \sqrt 3 )\).

a) Mặt cầu (\(S\)) có tâm \(I( - 10\sqrt 3 ;0;30)\) và bán kính \(R = 10\) (m).

Dựa vào phương trình mặt cầu đã cho, tâm \(I\) là \(( - 10\sqrt 3 ;0;30)\) và bán kính \(R = \sqrt {100}  = 10\).

Chọn ĐÚNG

b) Phương trình đường thẳng chứa tia nắng đi qua tâm mặt cầu là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 10\sqrt 3  + t}\\{y = 0}\\{z = 30 - \sqrt 3 t}\end{array}} \right.\).

Đường thẳng chứa tia nắng đi qua tâm mặt cầu \(I( - 10\sqrt 3 ;0;30)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = (1;0; - \sqrt 3 )\).

Phương trình tham số của đường thẳng này là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 10\sqrt 3  + t}\\{y = 0}\\{z = 30 - \sqrt 3 t}\end{array}} \right.\).

Chọn ĐÚNG.

c) Gọi \(K\) là hình chiếu của tâm \(I\) theo phương tia nắng trên mặt sân, khi đó \(K(10\sqrt 3 ;0;0)\).

\(K\) là hình chiếu của tâm \(I\) theo phương tia nắng trên mặt sân. Mặt sân trùng với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), có phương trình \(z = 0\).

Để tìm tọa độ điểm \(K\), ta thay \(z = 0\) vào phương trình đường thẳng chứa tia nắng đi qua \(I\):

\(30 - \sqrt 3 t = 0 \Rightarrow t = 10\sqrt 3 \).

Thay \(t = 10\sqrt 3 \) vào ta được: \(K(0;0;0)\).

Chọn SAI

d) Biết rằng hình chiếu của mặt cầu lên mặt sân là một elip, tiêu cự của elip bằng \(\frac{{20}}{{\sqrt 3 }}\).

Hình chiếu của mặt cầu lên mặt sân (mặt phẳng \(Oxy\)) theo phương tia nắng \(\vec u = (1;0; - \sqrt 3 )\) là một elip.

Gọi \(\phi \) là góc giữa \(\vec u\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Vector pháp tuyến của \(\left( {Oxy} \right)\) là \(\vec n = (0;0;1)\).

Góc \(\theta \) giữa \(\vec u\) và \(\vec n\) được tính bởi \(\cos \theta  = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}}\)\( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra  $\theta ={30}^{°}$

Góc \(\phi \) giữa \(\vec u\) và mặt phẳng \(Oxy\) là $\varphi ={90}^{°}-\theta ={90}^{°}-{30}^{°}={60}^{°}$

Hình chiếu của mặt cầu là một elip có bán trục nhỏ \(b = R = 10\).

Bán trục lớn $a=\frac{R}{\sin \varphi }=\frac{10}{\sin {60}^{°}}=\frac{20}{\sqrt{3}}$

Tiêu cự của elip là \(2c\), với \({c^2} = {a^2} - {b^2}\)\( = {\left( {\frac{{20}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} - {10^2} = \frac{{100}}{3}\).

\( \Rightarrow c = \frac{{10}}{{\sqrt 3 }}\).

Tiêu cự \(2c = 2 \cdot \frac{{10}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }}\).

Chọn ĐÚNG.