Một chiếc cối đá có lòng cối là một parabol tròn xoay (có mặt cắt qua trục là một parabol như hình bên), với miệng cối là đường tròn có đường kính \(40{\rm{cm}}\)và chiều sâu cối là \(30{\rm{cm}}\). Biết rằng thể tích của lòng cối bằng \(a\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\), giá trị của \(a\) bằng bao nhiêu?

Đáp án: \(6,4\).

Hướng đi của Pikachu hiểu nôm na như sau:

B1: Tăng \(x\)\( \to \) B2: Tăng \(y\)\( \to \) B3: Giảm \(x'\)\( \to \) B4: Giảm \(y'\)….

Giá trị dịch chuyển:

Gọi \({d_n}\) là độ dài của bước thứ\(n\). Theo đề bài:

\[{d_1} = 8;{d_2} = 8 \cdot \left( {\frac{3}{4}} \right);{d_3} = 8 \cdot {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2},...,{d_n} = 8 \cdot {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{n - 1}}\].

Tọa độ điểm \(M\left( {x;y} \right)\) trong đó:

- Hoành độ: \(x = {d_1} - {d_3} + {d_5} - {d_7} +  \ldots  = 8 - 8{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} + 8{\left( {\frac{3}{4}} \right)^4} -  \ldots \) là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({u_1} = 8\) và công bội \(q =  - \frac{9}{{16}}\).

Suy ra \(x = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{8}{{1 - \left( { - \frac{9}{{16}}} \right)}} = \frac{8}{{\frac{{25}}{{16}}}} = \frac{{128}}{{25}}\).

- Tung độ: \(y = {d_2} - {d_4} + {d_6} - {d_8} +  \ldots  = 8\left( {\frac{3}{4}} \right) - 8{\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} + 8{\left( {\frac{3}{4}} \right)^5} -  \ldots \) là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({v_1} = 8.\left( {\frac{3}{4} = 6} \right)\) và công bội \(q =  - \frac{9}{{16}}\).

Suy ra \(y = \frac{{{v_1}}}{{1 - q}} = \frac{6}{{1 - \left( { - \frac{9}{{16}}} \right)}} = \frac{6}{{\frac{{25}}{{16}}}} = \frac{{96}}{{25}}\).

 Độ dài đoạn thẳng OM: \(OM = \sqrt {{{\left( {\frac{{128}}{{25}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{96}}{{25}}} \right)}^2}}  = \frac{{160}}{{25}} = 6,4\).

Đáp án: 20

Gắn hệ trục \(O\,xyz\) như hình vẽ, ta có toạ độ các điểm là:

\(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {9;0;0} \right),D\left( {0;12;0} \right),C\left( {9;12;0} \right),A'\left( {0;0;11} \right),C'\left( {9;12;11} \right),\)

Gọi \(E\) là điểm sao cho \(AMNE\) là hình bình hành. Khi đó \(AE = MN = 9 - 6 = 3 \Rightarrow E\left( {0;0;3} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {EC'}  = \left( {9;12;8} \right) \Rightarrow EC' = 17\)

Độ dài ống giải nhiệt là:

\(l = AM + MN + NC' = AM + 3 + NC' = EN + NC' + 3 \ge EC' + 3 = 20\).

Vậy \({l_{\min }} = 20\).