Cho hình thang cong \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(f\left( x \right) = {e^x}\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = \ln 4\). Đường thẳng \(x = k{\rm{ }}\left( {0 < k < \ln 4} \right)\) chia hình \(\left( H \right)\) thành hai hình \(\left( {{H_1}} \right)\), \(\left( {{H_2}} \right)\) có diện tích lần lượt là \({S_1}\) và \({S_2}\) như hình vẽ bên. Với \(\left( {{H_1}} \right)\) là hình gồm những điểm có hoành độ nhỏ hơn \(k\), \(\left( {{H_2}} \right)\) là hình gồm những điểm có hoành độ lớn hơn \(k\). 

a) Đúng

Vì có \(42\% \) số túi được dán nhãn thuần chay cũng được dán nhãn giảm đường.

\( \Rightarrow \)\(P(R|V) = 0,42\).

b) Đúng.

Ta có: \(P(VR) = P(V) \cdot P(R|V) = 0,25 \cdot 0,42 = 0,105\).

Có \(63\% \)số túi không được dán nhãn gì cả nên xác suất túi có dán ít nhất một loại nhãn

là: \(P\left( {V \cup R} \right) = 1 - 0,63 = 0,37\)

Ta có \(P(V \cup R) = P(V) + P(R) - P(V \cap R)\)

\( \Rightarrow 0,37 = 0,25 + P(R) - 0,105\)

\( \Rightarrow P(R) = 0,37 - 0,145 = 0,225\).

Do đó \(P(\bar R) = 1 - P(R) = 1 - 0,225 = 0,775\).

c) Sai.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

\(P\left( R \right) = P\left( {RV} \right) + P\left( {R\overline V } \right) = P\left( {R|V} \right).P\left( V \right) + P\left( {R|\overline V } \right).P\left( {\overline V } \right)\)

\( \Rightarrow 0,225 = 0,25.0,42 + P\left( {R|\overline V } \right).0,75\)

\( \Rightarrow \)\(P(R|\bar V) = 0,16\).

Do đó khi một túi không được dán nhãn là thuần chay được rút ra thì xác suất để túi đó được dán nhãn giảm đường là \(0,16\)

d) Đúng.

Túi chỉ được dán đúng 1 nhãn bao gồm hai trường hợp: Chỉ dán nhãn thuần chay (\(V\overline R \))

hoặc chỉ dán nhãn giảm đường \(\left( {\overline V R} \right)\).

Ta có \(P(V\bar R) = P(V) - P(VR) = 0,25 - 0,105 = 0,145\).

\(P(\bar VR) = P\left( {R\overline V } \right) = P\left( {R|\overline V } \right).P\left( {\overline V } \right) = 0,16.0,75 = 0,12\).

Vậy xác suất túi chỉ được dán đúng 1 nhãn là: \(P\left( {V\overline R } \right) + P\left( {R\overline V } \right) = \)\(0,145 + 0,12 = 0,265\).

Đáp án: 1,31.

Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\), suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Do \(AD \bot AB\) nên \(AD \bot SA\), suy ra \[\left[ {S,AD,B} \right] = \widehat {SAB} = 60^\circ \] và

\[SH = AH.\tan \widehat {SAH} = \frac{{AB}}{2}.\tan 60^\circ  = \frac{2}{2}.\sqrt 3  = \sqrt 3 \].

Do \(mp\left( {SCD} \right)\) đi qua \(SC\) và song song với \(AB\) nên

\(d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right)\).

Kẻ \(HK \bot CD\) (\(K\) là trung điểm \(CD\)) và kẻ \(HI \bot SK\) thì \(HI \bot \left( {SCD} \right)\) hay \(d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HI\)

Có \(\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{{12}}\), suy ra \(HI = \frac{{\sqrt {12} }}{{\sqrt 7 }}\).

Vây \(d\left( {AB,SC} \right) = \frac{{\sqrt {12} }}{{\sqrt 7 }} \approx 1,31\).