Cho hình chóp cụt tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài các cạnh đáy \(AB = 8\), \(A'B' = 4\) và cạnh bên \(AA' = 5\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(CD\) (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Chọn a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng

Biến cố \(A\): “Học sinh được bầu làm nhóm trưởng thuộc lớp 12/1”.

Biến cố \(B\): “Học sinh được bầu làm nhóm trưởng là nữ”.

a) Sai

Xác suất chọn 1 bạn nữ từ lớp 12/1 là: \[P(B|A) = \frac{{10}}{{35}} = \frac{2}{7}.\]

b) Đúng

Trường hợp 1: Nhóm trưởng thuộc lớp 12/1. Xác suất: \[P(AB) = \frac{1}{2}.\frac{{10}}{{35}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{7} = \frac{1}{7}\]

Trường hợp 2: Nhóm trưởng thuộc lớp 12/2. Xác suất: \[P(\bar AB) = \frac{1}{2}.\frac{{15}}{{35}} = \frac{1}{2}.\frac{3}{7} = \frac{3}{{14}}\]

Xác suất biến cố B: \[P(B) = \frac{1}{7} + \frac{3}{{14}} = \frac{{2 + 3}}{{14}} = \frac{5}{{14}}\].

c) Đúng

Biết nhóm trưởng là nữ, xác suất bạn đó đến từ lớp 12/1:

\[P(A|B) = \frac{{P({\rm{AB}})}}{{P(B)}} = \frac{{1/7}}{{5/14}} = \frac{2}{5}\].

d) Đúng

Trường hợp 1: Chọn 1 nữ, 1 nam từ lớp 12/1 và 2 nam từ lớp 12/2

Xác suất chọn từ lớp 12/1 (1 nữ, 1 nam): \[\frac{{C_{10}^1 \cdot C_{25}^1}}{{C_{35}^2}} = \frac{{10 \cdot 25}}{{595}} = \frac{{250}}{{595}}\]

Xác suất chọn từ lớp 12/2 (2 nam): \[\frac{{C_{20}^2}}{{C_{35}^2}} = \frac{{190}}{{595}}\]

Xác suất bầu bạn nữ duy nhất này làm trưởng nhóm: \[\frac{1}{4}\]

Suy ra xác suất TH1: \[{P_1} = \left( {\frac{{250}}{{595}} \cdot \frac{{190}}{{595}}} \right) \cdot \frac{1}{4}\]

Trường hợp 2: Chọn 2 nam từ lớp 12/1 và 1 nữ, 1 nam từ lớp 12/2

Xác suất chọn từ lớp 12/1 (2 nam): \[\frac{{C_{25}^2}}{{C_{35}^2}} = \frac{{300}}{{595}}\]

Xác suất chọn từ lớp 12/2 (1 nữ, 1 nam): \[\frac{{C_{25}^2}}{{C_{35}^2}} = \frac{{300}}{{595}}\]

Xác suất bầu bạn nữ duy nhất này làm trưởng nhóm: \[\frac{1}{4}\]

Suy ra xác suất TH2: \[{P_2} = \left( {\frac{{300}}{{595}} \cdot \frac{{300}}{{595}}} \right) \cdot \frac{1}{4}\]

Xác suất để biến cố "Trưởng nhóm là nữ và 3 người còn lại là nam":

\[P = {P_1} + {P_2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{(250 \cdot 190) + (300 \cdot 300)}}{{{{595}^2}}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{47500 + 90000}}{{354025}} = \frac{{137500}}{{1416100}} = \frac{{1375}}{{14161}}\].

Xác suất để 3 bạn còn lại là nam, biết rằng nhóm trưởng là nữ:

\[P = \frac{{\frac{{1375}}{{14161}}}}{{\frac{5}{{14}}}} = \frac{{1375}}{{14161}} \cdot \frac{{14}}{5} = \frac{{275 \cdot 14}}{{14161}} = \frac{{3850}}{{14161}}\].

Đáp án: 7.

Khi \(2 \le t < 10\), \(P\left( t \right) = 1200 - a{\left( {10 - t} \right)^2}\)\(\left( {a \ne 0} \right)\)

\( \Rightarrow 950 = P\left( 5 \right) = 1200 - a{\left( {10 - 5} \right)^2} \Leftrightarrow a = 10\).

Suy ra \(P\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1200 - 10{{\left( {10 - t} \right)}^2}}&{\left( {2 \le t < 10} \right)}\\{1200}&{\left( {10 \le t \le 20} \right)}\end{array}} \right.\).

Ta có: \(\frac{{Q\left( t \right)}}{t} = \frac{{P\left( t \right)}}{5} - 40t + 660 - \frac{{1372}}{t} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2{t^2} + 700 - \frac{{1372}}{t}}&{\left( {2 \le t < 10} \right)}\\{ - 40t + 900 - \frac{{1372}}{t}}&{\left( {10 \le t \le 20} \right)}\end{array}} \right.\).

Với \(2 \le t < 10\): \[{\left[ {\frac{{Q\left( t \right)}}{t}} \right]^\prime } =  - 4t + \frac{{1372}}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 7 \in \left[ {2;10} \right)\].

Khi đó, \[{\left[ {\frac{{Q\left( t \right)}}{t}} \right]_{\max }} =  - 2 \times {7^2} + 700 - \frac{{1372}}{7} = 406\].

Với \(10 \le t \le 20\): \[\frac{{Q\left( t \right)}}{t} =  - 40t + 900 - \frac{{1372}}{t} \le  - 2\sqrt {40 \times 1372}  + 900 \approx 431,5\].

Dấu bằng xảy ra khi \[ - 40t =  - \frac{{1372}}{t} \Rightarrow t = \frac{{7\sqrt {70} }}{{10}} \notin \left[ {10;20} \right]\].

Vậy khi \[t = 7\] (phút) thì lợi nhuận ròng trung bình mỗi phút đạt giá trị lớn nhất.