Lớp 12/1 có 25 bạn nam và 10 bạn nữ; lớp 12/2 có 20 bạn nam và 15 bạn nữ. Để chuẩn bị cho buổi sinh hoạt giao lưu với đơn vị kết nghĩa, Đoàn trường chọn ngẫu nhiên từ hai lớp trên mỗi lớp 2 học sinh. Sau khi nhóm 4 bạn đã tập hợp, cả nhóm bầu ngẫu nhiên một bạn trong số đó làm nhóm trưởng.

Chọn a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng

a) Sai

Tâm của trạm là \(I(1;2;1,2)\). Bán kính vùng tín hiệu trong hệ tọa độ \(Oxyz\) là \(R = 8\) đơn vị.

Phương trình mặt cầu ranh giới vùng tín hiệu là: \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1,2)^2} = 64\).

b) Đúng

Thời điểm \(8\) giờ \(10\) phút sáng tương ứng với \(t = 10\).

Vị trí của tàu tại \(t = 10\) là \(P = (6; - 3;0)\).

Tâm trạm là \(I(1;2;1,2)\).

Khoảng cách từ tàu đến trạm là \(d = IP\)\( = \sqrt {51,44}  \approx 7,172\).

Bán kính vùng tín hiệu là \(R = 8\).

Vì \(d \approx 7,172 < 8\), nên tàu nằm trong vùng nhận diện tín hiệu của trạm.

c) Sai

Vị trí của tàu tại thời điểm \(t\) là \(P(t) = (16 - t; - 13 + t;0)\).

Tâm trạm là \(I(1;2;1,2)\).

Khoảng cách từ tàu đến trạm là \(d(t) = IP(t)\)\( \Rightarrow {d^2}(t) = 2{(15 - t)^2} + 1,44\).

Để khoảng cách \(d(t)\) nhỏ nhất, \({d^2}(t)\) phải nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi \({(15 - t)^2} = 0\).

Suy ra \(15 - t = 0 \Rightarrow t = 15\) phút.

Thời điểm tàu gần trạm kiểm soát nhất là \(t = 15\) phút sau \(8\) giờ \(00\) phút tức là \(8\) giờ \(15\) phút sáng.

d) Đúng.

Tàu nằm trong vùng nhận diện tín hiệu khi \(d\left( t \right) \le R \Leftrightarrow {d^2}(t) \le {R^2}\)\( \Leftrightarrow {(15 - t)^2} \le 31,28\).

\( \Leftrightarrow 9,40715 \le t \le 20,59285\).

Thời gian tàu di chuyển là từ \(t = 0\) đến \(t = 30\) phút. Khoảng thời gian tàu nằm trong vùng tín là \([9,40715;20,59285]\).

Độ dài khoảng thời gian này là \(\Delta t = 20,59285 - 9,40715 = 11,1857\) phút.

Đáp án: 7,2.

Vì \(CD\parallel AB\) mà \(AB \subset (ABB'A')\) nên \(CD\parallel (ABB'A')\).

Do đó, khoảng cách \(d(CD,AA') = d(CD,(ABB'A')) = d(N,MM')\), với N, M, M' lần lượt là trung điểm của CD, AB và A'B'.

Gọi O, O' là tâm hai đáy. Đường cao \(h = OO'\).

Ta có \(AO = \frac{{8\sqrt 2 }}{2} = 4\sqrt 2 \) và \(A'O' = \frac{{4\sqrt 2 }}{2} = 2\sqrt 2 \).

Xét tam giác vuông có cạnh huyền AA' và các cạnh góc vuông là \(h\) và \((AO - A'O')\):

\(h = \sqrt {A{{A'}^2} - {{(AO - A'O')}^2}}  = \sqrt {{5^2} - {{(2\sqrt 2 )}^2}}  = \sqrt {25 - 8}  = \sqrt {17} \)

Tính khoảng cách:

Xét mặt cắt qua trung điểm các cạnh đối diện: Đó là hình thang MNM'N' với đáy \(MN = 8\), \(M'N' = 4\) và chiều cao \(h = \sqrt {17} \).

Xét tam giác NMM' có: NM = 8, chiều cao hạ từ M' xuống NM chính là \(h = \sqrt {17} \), diện tích \({S_{\Delta NMM'}} = \frac{1}{2} \cdot NM \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt {17}  = 4\sqrt {17} \).

Độ dài cạnh MM' (trung đoạn của mặt bên): \(MM' = \sqrt {{h^2} + {{\left( {\frac{{AB - A'B'}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {17 + {2^2}}  = \sqrt {21} \).

Khoảng cách từ N đến MM' là: \(d = \frac{{2 \cdot {S_{\Delta NMM'}}}}{{MM'}} = \frac{{8\sqrt {17} }}{{\sqrt {21} }} \approx 7,198\).