Cho một hình tam giác đều cạnh \[a = 40\,cm\] (Hình a). Chia mỗi cạnh của tam giác đó thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ ra phía ngoài một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình b). Tiếp tục chia mỗi cạnh ở Hình b) thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ ra phía ngoài một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình c). Lặp lại quá trình trên; từ Hình c) ta tạo nên Hình d); từ Hình d) ta tạo nên Hình e); … và cứ thế ta sẽ tạo được một dãy các hình, được gọi là dãy hình Bông tuyết Koch.

Gọi \[{S_n}\] là diện tích của hình ở bước thứ \[n\] (\[{S_0}\] là diện tích tam giác đều ban đầu). Tính giới hạn của diện tích hình thu được khi quá trình trên lặp lại vô hạn lần, tức là tính \[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {S_n}\] (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Chọn a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng

Biến cố \(A\): “Học sinh được bầu làm nhóm trưởng thuộc lớp 12/1”.

Biến cố \(B\): “Học sinh được bầu làm nhóm trưởng là nữ”.

a) Sai

Xác suất chọn 1 bạn nữ từ lớp 12/1 là: \[P(B|A) = \frac{{10}}{{35}} = \frac{2}{7}.\]

b) Đúng

Trường hợp 1: Nhóm trưởng thuộc lớp 12/1. Xác suất: \[P(AB) = \frac{1}{2}.\frac{{10}}{{35}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{7} = \frac{1}{7}\]

Trường hợp 2: Nhóm trưởng thuộc lớp 12/2. Xác suất: \[P(\bar AB) = \frac{1}{2}.\frac{{15}}{{35}} = \frac{1}{2}.\frac{3}{7} = \frac{3}{{14}}\]

Xác suất biến cố B: \[P(B) = \frac{1}{7} + \frac{3}{{14}} = \frac{{2 + 3}}{{14}} = \frac{5}{{14}}\].

c) Đúng

Biết nhóm trưởng là nữ, xác suất bạn đó đến từ lớp 12/1:

\[P(A|B) = \frac{{P({\rm{AB}})}}{{P(B)}} = \frac{{1/7}}{{5/14}} = \frac{2}{5}\].

d) Đúng

Trường hợp 1: Chọn 1 nữ, 1 nam từ lớp 12/1 và 2 nam từ lớp 12/2

Xác suất chọn từ lớp 12/1 (1 nữ, 1 nam): \[\frac{{C_{10}^1 \cdot C_{25}^1}}{{C_{35}^2}} = \frac{{10 \cdot 25}}{{595}} = \frac{{250}}{{595}}\]

Xác suất chọn từ lớp 12/2 (2 nam): \[\frac{{C_{20}^2}}{{C_{35}^2}} = \frac{{190}}{{595}}\]

Xác suất bầu bạn nữ duy nhất này làm trưởng nhóm: \[\frac{1}{4}\]

Suy ra xác suất TH1: \[{P_1} = \left( {\frac{{250}}{{595}} \cdot \frac{{190}}{{595}}} \right) \cdot \frac{1}{4}\]

Trường hợp 2: Chọn 2 nam từ lớp 12/1 và 1 nữ, 1 nam từ lớp 12/2

Xác suất chọn từ lớp 12/1 (2 nam): \[\frac{{C_{25}^2}}{{C_{35}^2}} = \frac{{300}}{{595}}\]

Xác suất chọn từ lớp 12/2 (1 nữ, 1 nam): \[\frac{{C_{25}^2}}{{C_{35}^2}} = \frac{{300}}{{595}}\]

Xác suất bầu bạn nữ duy nhất này làm trưởng nhóm: \[\frac{1}{4}\]

Suy ra xác suất TH2: \[{P_2} = \left( {\frac{{300}}{{595}} \cdot \frac{{300}}{{595}}} \right) \cdot \frac{1}{4}\]

Xác suất để biến cố "Trưởng nhóm là nữ và 3 người còn lại là nam":

\[P = {P_1} + {P_2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{(250 \cdot 190) + (300 \cdot 300)}}{{{{595}^2}}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{47500 + 90000}}{{354025}} = \frac{{137500}}{{1416100}} = \frac{{1375}}{{14161}}\].

Xác suất để 3 bạn còn lại là nam, biết rằng nhóm trưởng là nữ:

\[P = \frac{{\frac{{1375}}{{14161}}}}{{\frac{5}{{14}}}} = \frac{{1375}}{{14161}} \cdot \frac{{14}}{5} = \frac{{275 \cdot 14}}{{14161}} = \frac{{3850}}{{14161}}\].

Đáp án: 7,2.

Vì \(CD\parallel AB\) mà \(AB \subset (ABB'A')\) nên \(CD\parallel (ABB'A')\).

Do đó, khoảng cách \(d(CD,AA') = d(CD,(ABB'A')) = d(N,MM')\), với N, M, M' lần lượt là trung điểm của CD, AB và A'B'.

Gọi O, O' là tâm hai đáy. Đường cao \(h = OO'\).

Ta có \(AO = \frac{{8\sqrt 2 }}{2} = 4\sqrt 2 \) và \(A'O' = \frac{{4\sqrt 2 }}{2} = 2\sqrt 2 \).

Xét tam giác vuông có cạnh huyền AA' và các cạnh góc vuông là \(h\) và \((AO - A'O')\):

\(h = \sqrt {A{{A'}^2} - {{(AO - A'O')}^2}}  = \sqrt {{5^2} - {{(2\sqrt 2 )}^2}}  = \sqrt {25 - 8}  = \sqrt {17} \)

Tính khoảng cách:

Xét mặt cắt qua trung điểm các cạnh đối diện: Đó là hình thang MNM'N' với đáy \(MN = 8\), \(M'N' = 4\) và chiều cao \(h = \sqrt {17} \).

Xét tam giác NMM' có: NM = 8, chiều cao hạ từ M' xuống NM chính là \(h = \sqrt {17} \), diện tích \({S_{\Delta NMM'}} = \frac{1}{2} \cdot NM \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt {17}  = 4\sqrt {17} \).

Độ dài cạnh MM' (trung đoạn của mặt bên): \(MM' = \sqrt {{h^2} + {{\left( {\frac{{AB - A'B'}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {17 + {2^2}}  = \sqrt {21} \).

Khoảng cách từ N đến MM' là: \(d = \frac{{2 \cdot {S_{\Delta NMM'}}}}{{MM'}} = \frac{{8\sqrt {17} }}{{\sqrt {21} }} \approx 7,198\).