PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S).

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), đơn vị trên mỗi trục tương ứng với \(100{\rm{ m}}\). Một trạm kiểm soát ven biển có vùng nhận diện tín hiệu là một khối cầu bán kính \(800{\rm{ m}}\), tâm của trạm đặt tại \(I(1;2;1,2)\). Vào lúc \(8\) giờ \(00\) phút sáng, một tàu đánh cá di chuyển thẳng đều từ vị trí \(A(16; - 13;0)\) đến vị trí \(B( - 14;17;0)\) và đến nơi lúc \(8\) giờ \(30\) phút sáng cùng ngày.

Đáp án: 7,2.

Vì \(CD\parallel AB\) mà \(AB \subset (ABB'A')\) nên \(CD\parallel (ABB'A')\).

Do đó, khoảng cách \(d(CD,AA') = d(CD,(ABB'A')) = d(N,MM')\), với N, M, M' lần lượt là trung điểm của CD, AB và A'B'.

Gọi O, O' là tâm hai đáy. Đường cao \(h = OO'\).

Ta có \(AO = \frac{{8\sqrt 2 }}{2} = 4\sqrt 2 \) và \(A'O' = \frac{{4\sqrt 2 }}{2} = 2\sqrt 2 \).

Xét tam giác vuông có cạnh huyền AA' và các cạnh góc vuông là \(h\) và \((AO - A'O')\):

\(h = \sqrt {A{{A'}^2} - {{(AO - A'O')}^2}}  = \sqrt {{5^2} - {{(2\sqrt 2 )}^2}}  = \sqrt {25 - 8}  = \sqrt {17} \)

Tính khoảng cách:

Xét mặt cắt qua trung điểm các cạnh đối diện: Đó là hình thang MNM'N' với đáy \(MN = 8\), \(M'N' = 4\) và chiều cao \(h = \sqrt {17} \).

Xét tam giác NMM' có: NM = 8, chiều cao hạ từ M' xuống NM chính là \(h = \sqrt {17} \), diện tích \({S_{\Delta NMM'}} = \frac{1}{2} \cdot NM \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt {17}  = 4\sqrt {17} \).

Độ dài cạnh MM' (trung đoạn của mặt bên): \(MM' = \sqrt {{h^2} + {{\left( {\frac{{AB - A'B'}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {17 + {2^2}}  = \sqrt {21} \).

Khoảng cách từ N đến MM' là: \(d = \frac{{2 \cdot {S_{\Delta NMM'}}}}{{MM'}} = \frac{{8\sqrt {17} }}{{\sqrt {21} }} \approx 7,198\).

Đáp án: 0,42

Gọi A là biến cố: “Con xúc xắc mặt chẵn xuất hiện” \(P\left( A \right) = 0,5\)

Gọi B là biến cố: “Con xúc xắc mặt lẻ xuất hiện” \(P\left( B \right) = 0,5\)

Gọi X là biến cố: “Hai viên bi lấy ra cuối cùng đều màu đen”

Trường hợp 1: Xảy ra biến cố A (Mặt chẵn)

Lấy 2 bi đen: \(P = \frac{{C_2^2}}{{C_5^2}} = \frac{1}{{10}}\) Hộp II lúc này có 1 bi trắng và 6 bi đen. \(P = \frac{{C_6^2}}{{C_7^2}} = \frac{5}{7}\)

Lấy 1 bi trắng, 1 bi đen: \(P = \frac{{C_3^1C_2^1}}{{C_5^2}} = \frac{6}{{10}}\). Hộp II lúc này có 2 bi trắng và 5 bi đen. \(P = \frac{{C_5^2}}{{C_7^2}} = \frac{{10}}{{21}}\)

Lấy 2 bi trắng: \(P = \frac{{C_3^2}}{{C_5^2}} = \frac{3}{{10}}\). Hộp II lúc này có 3 bi trắng và 4 bi đen. \(P = \frac{{C_4^2}}{{C_7^2}} = \frac{2}{7}\)

\( \Rightarrow P\left( {X|A} \right) = \frac{1}{{10}}.\frac{5}{7} + \frac{6}{{10}}.\frac{{10}}{{21}} + \frac{3}{{10}}.\frac{2}{7} = \frac{{31}}{{70}}\)

Trường hợp 2: Xảy ra biến cố B (Mặt lẻ)

Lấy 2 bi đen: \(P = \frac{{C_2^2}}{{C_5^2}} = \frac{1}{{10}}\) Hộp II lúc này có 6 bi đen. \(P = \frac{{C_6^2}}{{C_6^2}} = 1\)

Lấy 1 bi trắng, 1 bi đen: \(P = \frac{{C_3^1C_2^1}}{{C_5^2}} = \frac{6}{{10}}\). Hộp II lúc này có 1 bi trắng và 5 bi đen. \(P = \frac{{C_5^2}}{{C_6^2}} = \frac{2}{3}\)

Lấy 2 bi trắng: \(P = \frac{{C_3^2}}{{C_5^2}} = \frac{3}{{10}}\). Hộp II lúc này có 2 bi trắng và 4 bi đen. \(P = \frac{{C_4^2}}{{C_6^2}} = \frac{2}{5}\)

\( \Rightarrow P\left( {X|A} \right) = \frac{1}{{10}}.1 + \frac{6}{{10}}.\frac{2}{3} + \frac{3}{{10}}.\frac{2}{5} = \frac{{31}}{{50}}\)

\( \Rightarrow P\left( X \right) = P\left( A \right).P\left( {X|A} \right) + P\left( B \right).P\left( {X|B} \right) = 0,5.\frac{{31}}{{70}} + 0,5.\frac{{31}}{{50}} = \frac{{93}}{{175}}\)

Vậy \( \Rightarrow P\left( {A|X} \right) = \frac{{0,5.\frac{{31}}{{70}}}}{{\frac{{93}}{{175}}}} = \frac{5}{{12}} \approx 0,42\).