Tuyến đường sắt cao tốc sau khi đưa vào hoạt động đã đem lại nhiều thuận lợi, thúc đẩy phát triển kinh tế - xã hội của khu vực. Biết rằng sau khi khai trương, thời gian giữa hai chuyến tàu liên tiếp là \(t\) (đơn vị: phút), với \(2 \le t \le 20\), \(t \in {\mathbb{N}^*}\). Sức chở của tàu cao tốc có liên hệ với \(t\) như sau.

+ Khi \(10 \le t \le 20\), tàu ở trạng thái đầy, sức chở là \(1200\) người.

+ Khi \(2 \le t < 10\), sức chở giảm so với mức đầy; số người giảm tỉ lệ thuận với \({\left( {10 - t} \right)^2}\). Biết rằng khi \(t = 5\) (phút) thì sức chở là \(950\) người.

Gọi \(P\left( t \right)\) (người) là sức chở của tàu khi thời gian giữa hai chuyến là \(t\) phút. Giả sử lợi nhuận ròng của tuyến khi đó là \(Q\left( t \right) = \frac{t}{5}P\left( t \right) - 40{t^2} + 660t - 1372\) (triệu đồng). Hỏi khi \(t\) bằng bao nhiêu phút thì lợi nhuận ròng trung bình mỗi phút \(\frac{{Q\left( t \right)}}{t}\) đạt giá trị lớn nhất?

Chọn a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng

Biến cố \(A\): “Học sinh được bầu làm nhóm trưởng thuộc lớp 12/1”.

Biến cố \(B\): “Học sinh được bầu làm nhóm trưởng là nữ”.

a) Sai

Xác suất chọn 1 bạn nữ từ lớp 12/1 là: \[P(B|A) = \frac{{10}}{{35}} = \frac{2}{7}.\]

b) Đúng

Trường hợp 1: Nhóm trưởng thuộc lớp 12/1. Xác suất: \[P(AB) = \frac{1}{2}.\frac{{10}}{{35}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{7} = \frac{1}{7}\]

Trường hợp 2: Nhóm trưởng thuộc lớp 12/2. Xác suất: \[P(\bar AB) = \frac{1}{2}.\frac{{15}}{{35}} = \frac{1}{2}.\frac{3}{7} = \frac{3}{{14}}\]

Xác suất biến cố B: \[P(B) = \frac{1}{7} + \frac{3}{{14}} = \frac{{2 + 3}}{{14}} = \frac{5}{{14}}\].

c) Đúng

Biết nhóm trưởng là nữ, xác suất bạn đó đến từ lớp 12/1:

\[P(A|B) = \frac{{P({\rm{AB}})}}{{P(B)}} = \frac{{1/7}}{{5/14}} = \frac{2}{5}\].

d) Đúng

Trường hợp 1: Chọn 1 nữ, 1 nam từ lớp 12/1 và 2 nam từ lớp 12/2

Xác suất chọn từ lớp 12/1 (1 nữ, 1 nam): \[\frac{{C_{10}^1 \cdot C_{25}^1}}{{C_{35}^2}} = \frac{{10 \cdot 25}}{{595}} = \frac{{250}}{{595}}\]

Xác suất chọn từ lớp 12/2 (2 nam): \[\frac{{C_{20}^2}}{{C_{35}^2}} = \frac{{190}}{{595}}\]

Xác suất bầu bạn nữ duy nhất này làm trưởng nhóm: \[\frac{1}{4}\]

Suy ra xác suất TH1: \[{P_1} = \left( {\frac{{250}}{{595}} \cdot \frac{{190}}{{595}}} \right) \cdot \frac{1}{4}\]

Trường hợp 2: Chọn 2 nam từ lớp 12/1 và 1 nữ, 1 nam từ lớp 12/2

Xác suất chọn từ lớp 12/1 (2 nam): \[\frac{{C_{25}^2}}{{C_{35}^2}} = \frac{{300}}{{595}}\]

Xác suất chọn từ lớp 12/2 (1 nữ, 1 nam): \[\frac{{C_{25}^2}}{{C_{35}^2}} = \frac{{300}}{{595}}\]

Xác suất bầu bạn nữ duy nhất này làm trưởng nhóm: \[\frac{1}{4}\]

Suy ra xác suất TH2: \[{P_2} = \left( {\frac{{300}}{{595}} \cdot \frac{{300}}{{595}}} \right) \cdot \frac{1}{4}\]

Xác suất để biến cố "Trưởng nhóm là nữ và 3 người còn lại là nam":

\[P = {P_1} + {P_2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{(250 \cdot 190) + (300 \cdot 300)}}{{{{595}^2}}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{47500 + 90000}}{{354025}} = \frac{{137500}}{{1416100}} = \frac{{1375}}{{14161}}\].

Xác suất để 3 bạn còn lại là nam, biết rằng nhóm trưởng là nữ:

\[P = \frac{{\frac{{1375}}{{14161}}}}{{\frac{5}{{14}}}} = \frac{{1375}}{{14161}} \cdot \frac{{14}}{5} = \frac{{275 \cdot 14}}{{14161}} = \frac{{3850}}{{14161}}\].

Chọn a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng

a) Sai

Tâm của trạm là \(I(1;2;1,2)\). Bán kính vùng tín hiệu trong hệ tọa độ \(Oxyz\) là \(R = 8\) đơn vị.

Phương trình mặt cầu ranh giới vùng tín hiệu là: \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1,2)^2} = 64\).

b) Đúng

Thời điểm \(8\) giờ \(10\) phút sáng tương ứng với \(t = 10\).

Vị trí của tàu tại \(t = 10\) là \(P = (6; - 3;0)\).

Tâm trạm là \(I(1;2;1,2)\).

Khoảng cách từ tàu đến trạm là \(d = IP\)\( = \sqrt {51,44}  \approx 7,172\).

Bán kính vùng tín hiệu là \(R = 8\).

Vì \(d \approx 7,172 < 8\), nên tàu nằm trong vùng nhận diện tín hiệu của trạm.

c) Sai

Vị trí của tàu tại thời điểm \(t\) là \(P(t) = (16 - t; - 13 + t;0)\).

Tâm trạm là \(I(1;2;1,2)\).

Khoảng cách từ tàu đến trạm là \(d(t) = IP(t)\)\( \Rightarrow {d^2}(t) = 2{(15 - t)^2} + 1,44\).

Để khoảng cách \(d(t)\) nhỏ nhất, \({d^2}(t)\) phải nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi \({(15 - t)^2} = 0\).

Suy ra \(15 - t = 0 \Rightarrow t = 15\) phút.

Thời điểm tàu gần trạm kiểm soát nhất là \(t = 15\) phút sau \(8\) giờ \(00\) phút tức là \(8\) giờ \(15\) phút sáng.

d) Đúng.

Tàu nằm trong vùng nhận diện tín hiệu khi \(d\left( t \right) \le R \Leftrightarrow {d^2}(t) \le {R^2}\)\( \Leftrightarrow {(15 - t)^2} \le 31,28\).

\( \Leftrightarrow 9,40715 \le t \le 20,59285\).

Thời gian tàu di chuyển là từ \(t = 0\) đến \(t = 30\) phút. Khoảng thời gian tàu nằm trong vùng tín là \([9,40715;20,59285]\).

Độ dài khoảng thời gian này là \(\Delta t = 20,59285 - 9,40715 = 11,1857\) phút.