Cho phương trình bậc hai: \({x^2} - mx - 1 = 0\) (\(m\) là tham số)

Biết phương trình có một nghiệm là \({x_1} = \sqrt 2 + 1\), gọi \({x_2}\) là nghiệm còn lại của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(K = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}\).

Gọi \(x\;\)là số lần ông An giảm giá (\(x \ge 0\)).

Ông An bán 1 tấn cà phê với giá : \(80\; - \;x\) (triệu đồng).

Tiền lãi khi bán 1 tấn cà phê là: \(80 - x - 50 = 30 - x\) (triệu đồng)

Số lượng cà phê ông An bán được: \(20\; + \;2x\) (tấn).

Lợi nhuận của ông An là:

\(A = (30 - x)(20 + 2x)\)\( = - 2{x^2} + 40x + 600\)(triệu đồng)

Mỗi tấn cà phê công ty B lãi: \(100\; - \;\left( {80 - x} \right) = 20 + x\) (triệu đồng)

Doanh thu của công ty B là \(\left( {20 + x} \right)\left( {20 + 2x} \right)\) (triệu đồng)

Lợi nhuận của Công ty B là: \(B = (20 + x)(20 + 2x) - 1000 = 2{x^2} + 60x - 600\)(triệu đồng)

Theo điều kiện, \(B \ge 408\):

\(2{x^2} + 60x - 600 \ge 408 \Rightarrow {x^2} + 30x - 504 \ge 0 \Rightarrow \left( {x - 12} \right)\left( {x + 42} \right) \ge 0\)

Mà \(x \ge 0\) nên \(x + 42 > 0\) do đó \(x \ge 12\)

Ta có \(A = \; - 2{x^2} + 40x + 600 = - 2{\left( {x - 10} \right)^2} + 800\;\)

Do \(x \ge 12\;\) nên \(x - 10 \ge 2\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 12\) (TMĐK)

Do đó, để đạt lợi nhuận cao nhất ông An phải giảm giá \(12\;\)lần.

Giá ông An bán 1 tấn cà phê khi đó: \(80\; - \;12\; = \;68\) triệu đồng/tấn.

a) Xét đường tròn \((O)\), ta có \(\widehat {MAN} = {90^{\rm{o}}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra \(\Delta NAE\) vuông tại \(A\) nên ba điểm \(N,A,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(NE\).

\(d \bot MN\) tại \(P\) nên $\widehat{NPE}={90}^{°}$

Suy ra \(\Delta NPE\) vuông tại \(P\) nên ba điểm \(N,P,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(NE\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(N,A,P,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(NE\) hay tứ giác \(NAEP\) nội tiếp đường tròn đường kính \(NE\).

b) Chứng minh được \(\widehat {APE} = \widehat {ANE}\)

Hoặc chứng minh được \(\widehat {AMK} = \widehat {ANK}\)

Chứng minh \(\widehat {APE} = \widehat {AMK}\)

Xét \(\Delta PNF\) và \(\Delta PEM\) có:

$\widehat{FPN}=\widehat{MPE}={90}^{°}$ (\(d \bot MN\)).

\(\widehat {PFN} = \widehat {PME}\) (cùng phụ với góc \(\widehat {PNF}\)\().\)

(g.g)

\( \Rightarrow \frac{{PN}}{{PE}} = \frac{{PF}}{{PM}}\)

\( \Rightarrow PM \cdot PN = PE \cdot PF\) (đpcm).

c)

Chứng minh\(\widehat {APE} = \widehat {ANE}\); \(\widehat {KPE} = \widehat {KME}\) và \(\widehat {KMA} = \widehat {KNA}\) suy ra \(\widehat {KPE} = \widehat {APE}\) hay \(PE\;\)là tia phân giác của góc \(\widehat {KPA}\)

+ Chứng minh \[\widehat {SKM} = \widehat {ANM}\] (do tứ giác \(KMNA\) nội tiếp).

Chứng minh \[\widehat {MKP} = \widehat {MEP} = \widehat {MNA}\]

Suy ra \[\widehat {MNA} = \widehat {SKM} = \widehat {MKP} = \frac{1}{2}\widehat {SKP}\]

Mà \(\widehat {MNA} = \frac{1}{2}\widehat {MOA}\) nên \(\widehat {SKP} = \widehat {MOA}\)

+ \(\widehat {KPE} = \widehat {APE}\)nên \(\widehat {KPS} = \widehat {APO}\)

.

Chứng minh \( \Rightarrow \frac{{PM}}{{PA}} = \frac{{PK}}{{PN}} \Rightarrow PM \cdot PN = PA \cdot PK\)

Suy ra \(PM \cdot PN = PS \cdot PO\).

Mà \(PE \cdot PF = PM \cdot PN\) (câu b)

\( \Rightarrow PE \cdot PF = PS \cdot PO \Rightarrow \frac{{PE}}{{PO}} = \frac{{PS}}{{PF}}\).

Chứng minh được (c.g.c).

\( \Rightarrow \widehat {PSE} = \widehat {PFO}\). Vì $\widehat{PFO}+\widehat{POF}={90}^{°}$nên $\widehat{PSE}+\widehat{POF}={90}^{°}\Rightarrow SE\perp FO$