Ông An nhập cà phê giá \(50\) triệu đồng/tấn. Ban đầu, ông định bán cho công ty B giá \(80\;\)triệu đồng/tấn với số lượng \(20\;\)tấn. Hai bên thỏa thuận: Cứ mỗi lần ông An giảm giá bán \(1\) triệu đồng/tấn, Công ty B sẽ mua thêm \(2\;\)tấn. Biết rằng:

• Công ty B bán lẻ ra thị trường giá \(100\;\)triệu đồng/tấn cà phê.

• Chi phí vận hành cố định (nhân công, thuê kho, vận chuyển…) của công ty B là\(\;1\) tỷ đồng cho một hợp đồng.

• Công ty B chỉ ký hợp đồng nếu lợi nhuận của họ đạt ít nhất \(408\) triệu đồng.

Ông An nên bán cà phê cho công ty B với giá bao nhiêu để lợi nhuận của ông đạt tối đa?

a) Xét đường tròn \((O)\), ta có \(\widehat {MAN} = {90^{\rm{o}}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra \(\Delta NAE\) vuông tại \(A\) nên ba điểm \(N,A,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(NE\).

\(d \bot MN\) tại \(P\) nên $\widehat{NPE}={90}^{°}$

Suy ra \(\Delta NPE\) vuông tại \(P\) nên ba điểm \(N,P,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(NE\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(N,A,P,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(NE\) hay tứ giác \(NAEP\) nội tiếp đường tròn đường kính \(NE\).

b) Chứng minh được \(\widehat {APE} = \widehat {ANE}\)

Hoặc chứng minh được \(\widehat {AMK} = \widehat {ANK}\)

Chứng minh \(\widehat {APE} = \widehat {AMK}\)

Xét \(\Delta PNF\) và \(\Delta PEM\) có:

$\widehat{FPN}=\widehat{MPE}={90}^{°}$ (\(d \bot MN\)).

\(\widehat {PFN} = \widehat {PME}\) (cùng phụ với góc \(\widehat {PNF}\)\().\)

(g.g)

\( \Rightarrow \frac{{PN}}{{PE}} = \frac{{PF}}{{PM}}\)

\( \Rightarrow PM \cdot PN = PE \cdot PF\) (đpcm).

c)

Chứng minh\(\widehat {APE} = \widehat {ANE}\); \(\widehat {KPE} = \widehat {KME}\) và \(\widehat {KMA} = \widehat {KNA}\) suy ra \(\widehat {KPE} = \widehat {APE}\) hay \(PE\;\)là tia phân giác của góc \(\widehat {KPA}\)

+ Chứng minh \[\widehat {SKM} = \widehat {ANM}\] (do tứ giác \(KMNA\) nội tiếp).

Chứng minh \[\widehat {MKP} = \widehat {MEP} = \widehat {MNA}\]

Suy ra \[\widehat {MNA} = \widehat {SKM} = \widehat {MKP} = \frac{1}{2}\widehat {SKP}\]

Mà \(\widehat {MNA} = \frac{1}{2}\widehat {MOA}\) nên \(\widehat {SKP} = \widehat {MOA}\)

+ \(\widehat {KPE} = \widehat {APE}\)nên \(\widehat {KPS} = \widehat {APO}\)

.

Chứng minh \( \Rightarrow \frac{{PM}}{{PA}} = \frac{{PK}}{{PN}} \Rightarrow PM \cdot PN = PA \cdot PK\)

Suy ra \(PM \cdot PN = PS \cdot PO\).

Mà \(PE \cdot PF = PM \cdot PN\) (câu b)

\( \Rightarrow PE \cdot PF = PS \cdot PO \Rightarrow \frac{{PE}}{{PO}} = \frac{{PS}}{{PF}}\).

Chứng minh được (c.g.c).

\( \Rightarrow \widehat {PSE} = \widehat {PFO}\). Vì $\widehat{PFO}+\widehat{POF}={90}^{°}$nên $\widehat{PSE}+\widehat{POF}={90}^{°}\Rightarrow SE\perp FO$

Gọi số lượng giáo viên của đoàn tham quan là \(x\;(\)người).

Gọi số lượng học sinh của đoàn tham quan là \(y\) (người).

Điều kiện: \(x,y \in {\mathbb{N}^*}\)

Vì tổng số người trong đoàn là \(6\)0 người, ta có phương trình:

\(x + y = 60\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Đổi \(2,45\) triệu đồng = \(2450\) nghìn đồng

Giá vé của mỗi giáo viên là \(70\) nghìn đồng, giá vé của mỗi học sinh là\(\;35\) nghìn đồng và tổng số tiền là \(2450\;\)nghìn đồng, ta có phương trình:

\(70x + 35y = 2450\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 60}\\{70x + 35y = 2450}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10\,(TM)}\\{y = 50\;(TM)}\end{array}} \right.\)

Vậy đoàn tham quan của trường THCS Nghĩa Tân gồm có \(10\) giáo viên và \(50\) học sinh