Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(MN\). Trên đoạn thẳng \(MO\) lấy điểm \(P\)\((\)\(P\) khác \(M\) và \(O\)). Đường thẳng \(d\) đi qua \(P\) và vuông góc với \(MN\)cắt nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(Q\). Trên tia \(PQ\) lấy điểm \(F\) sao cho \(F\) nằm ngoài nửa đường tròn \(\left( O \right)\). Kẻ \(FN\)cắt nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\). Đường thẳng \(MA\) cắt đường thẳng \(d\) tại \(E\). Đường thẳng \(NE\) cắt nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(K\).

(a) Chứng minh tứ giác \(NAEP\) là tứ giác nội tiếp.

(b) Chứng minh \(\widehat {APE} = \widehat {AMK}\)và \(PM \cdot PN = PE \cdot PF\).

(c) Kẻ đường thẳng\(AK\)cắt đường thẳng \(MN\)tại \(S\). Chứng minh \(PE\) là tia phân giác của\(\widehat {KPA}\) và \[SE \bot FO\] .\[\]

Ông An nhập cà phê giá \(50\) triệu đồng/tấn. Ban đầu, ông định bán cho công ty B giá \(80\;\)triệu đồng/tấn với số lượng \(20\;\)tấn. Hai bên thỏa thuận: Cứ mỗi lần ông An giảm giá bán \(1\) triệu đồng/tấn, Công ty B sẽ mua thêm \(2\;\)tấn. Biết rằng:

• Công ty B bán lẻ ra thị trường giá \(100\;\)triệu đồng/tấn cà phê.

• Chi phí vận hành cố định (nhân công, thuê kho, vận chuyển…) của công ty B là\(\;1\) tỷ đồng cho một hợp đồng.

• Công ty B chỉ ký hợp đồng nếu lợi nhuận của họ đạt ít nhất \(408\) triệu đồng.

Ông An nên bán cà phê cho công ty B với giá bao nhiêu để lợi nhuận của ông đạt tối đa?

Để trang trí cho một khuôn viên, người ta dự định lắp đặt \(8\) khối đèn nghệ thuật có dạng hình cầu bằng thủy tinh chịu lực. Biết mỗi hình cầu có bán kính \(R = 30\,cm.\)

(a) Tính diện tích bề mặt của mỗi khối đèn hình cầu (lấy \(\pi \approx 3,14\) ).

(b) Để tăng hiệu ứng thẩm mỹ vào ban đêm, người ta cần phun một lớp sơn phản quang chuyên dụng lên bề mặt của cả \(8\) khối đèn đó. Biết chi phí để sơn là \(250\,\)nghìn đồng cho mỗi mét vuông. Tính tổng chi phí để hoàn thiện việc sơn cho cả \(8\;\)khối đèn trên.

Một đội thi công dự định lắp đặt \(400\;\)tấm pin năng lượng mặt trời cho một nhà máy trong thời gian nhất định. Thực tế, do thay đổi sang loại pin thế hệ mới nên mỗi ngày đội đã lắp được nhiều hơn dự định \(10\) tấm và chỉ cần lắp \(300\) tấm pin đã đủ điện dùng cho nhà máy. Vì vậy đội đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định \(10\;\)ngày. Tính số tấm pin mà đội lắp đặt mỗi ngày theo dự định.

Một huấn luyện viên ghi lại thời gian (phút) hoàn thành quãng đường chạy bộ của các thành viên trong một câu lạc bộ và thu được bảng dữ liệu sau:

Tính tần số và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[ {25;\,30} \right)\).

Cho phương trình bậc hai: \({x^2} - mx - 1 = 0\) (\(m\) là tham số)

Biết phương trình có một nghiệm là \({x_1} = \sqrt 2 + 1\), gọi \({x_2}\) là nghiệm còn lại của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(K = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}\).

Cho hai biểu thức \(P = \frac{5}{{\sqrt x - 2}}\) và \(Q = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{2}{{\sqrt x - 2}} + \frac{8}{{x - 4}}\) với \(x \ge 0,x \ne 4.\)

1) Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 25\).

2) Chứng minh \(Q = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}.\)

3) Đặt \(M = P.Q\). Tìm \(x\) để \(M\) có giá trị là số nguyên tố.