Để trang trí cho một khuôn viên, người ta dự định lắp đặt \(8\) khối đèn nghệ thuật có dạng hình cầu bằng thủy tinh chịu lực. Biết mỗi hình cầu có bán kính \(R = 30\,cm.\)

(a) Tính diện tích bề mặt của mỗi khối đèn hình cầu (lấy \(\pi \approx 3,14\) ).

(b) Để tăng hiệu ứng thẩm mỹ vào ban đêm, người ta cần phun một lớp sơn phản quang chuyên dụng lên bề mặt của cả \(8\) khối đèn đó. Biết chi phí để sơn là \(250\,\)nghìn đồng cho mỗi mét vuông. Tính tổng chi phí để hoàn thiện việc sơn cho cả \(8\;\)khối đèn trên.

a) Xét đường tròn \((O)\), ta có \(\widehat {MAN} = {90^{\rm{o}}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra \(\Delta NAE\) vuông tại \(A\) nên ba điểm \(N,A,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(NE\).

\(d \bot MN\) tại \(P\) nên $\widehat{NPE}={90}^{°}$

Suy ra \(\Delta NPE\) vuông tại \(P\) nên ba điểm \(N,P,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(NE\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(N,A,P,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(NE\) hay tứ giác \(NAEP\) nội tiếp đường tròn đường kính \(NE\).

b) Chứng minh được \(\widehat {APE} = \widehat {ANE}\)

Hoặc chứng minh được \(\widehat {AMK} = \widehat {ANK}\)

Chứng minh \(\widehat {APE} = \widehat {AMK}\)

Xét \(\Delta PNF\) và \(\Delta PEM\) có:

$\widehat{FPN}=\widehat{MPE}={90}^{°}$ (\(d \bot MN\)).

\(\widehat {PFN} = \widehat {PME}\) (cùng phụ với góc \(\widehat {PNF}\)\().\)

(g.g)

\( \Rightarrow \frac{{PN}}{{PE}} = \frac{{PF}}{{PM}}\)

\( \Rightarrow PM \cdot PN = PE \cdot PF\) (đpcm).

c)

Chứng minh\(\widehat {APE} = \widehat {ANE}\); \(\widehat {KPE} = \widehat {KME}\) và \(\widehat {KMA} = \widehat {KNA}\) suy ra \(\widehat {KPE} = \widehat {APE}\) hay \(PE\;\)là tia phân giác của góc \(\widehat {KPA}\)

+ Chứng minh \[\widehat {SKM} = \widehat {ANM}\] (do tứ giác \(KMNA\) nội tiếp).

Chứng minh \[\widehat {MKP} = \widehat {MEP} = \widehat {MNA}\]

Suy ra \[\widehat {MNA} = \widehat {SKM} = \widehat {MKP} = \frac{1}{2}\widehat {SKP}\]

Mà \(\widehat {MNA} = \frac{1}{2}\widehat {MOA}\) nên \(\widehat {SKP} = \widehat {MOA}\)

+ \(\widehat {KPE} = \widehat {APE}\)nên \(\widehat {KPS} = \widehat {APO}\)

.

Chứng minh \( \Rightarrow \frac{{PM}}{{PA}} = \frac{{PK}}{{PN}} \Rightarrow PM \cdot PN = PA \cdot PK\)

Suy ra \(PM \cdot PN = PS \cdot PO\).

Mà \(PE \cdot PF = PM \cdot PN\) (câu b)

\( \Rightarrow PE \cdot PF = PS \cdot PO \Rightarrow \frac{{PE}}{{PO}} = \frac{{PS}}{{PF}}\).

Chứng minh được (c.g.c).

\( \Rightarrow \widehat {PSE} = \widehat {PFO}\). Vì $\widehat{PFO}+\widehat{POF}={90}^{°}$nên $\widehat{PSE}+\widehat{POF}={90}^{°}\Rightarrow SE\perp FO$

Gọi \(x\;\)là số lần ông An giảm giá (\(x \ge 0\)).

Ông An bán 1 tấn cà phê với giá : \(80\; - \;x\) (triệu đồng).

Tiền lãi khi bán 1 tấn cà phê là: \(80 - x - 50 = 30 - x\) (triệu đồng)

Số lượng cà phê ông An bán được: \(20\; + \;2x\) (tấn).

Lợi nhuận của ông An là:

\(A = (30 - x)(20 + 2x)\)\( = - 2{x^2} + 40x + 600\)(triệu đồng)

Mỗi tấn cà phê công ty B lãi: \(100\; - \;\left( {80 - x} \right) = 20 + x\) (triệu đồng)

Doanh thu của công ty B là \(\left( {20 + x} \right)\left( {20 + 2x} \right)\) (triệu đồng)

Lợi nhuận của Công ty B là: \(B = (20 + x)(20 + 2x) - 1000 = 2{x^2} + 60x - 600\)(triệu đồng)

Theo điều kiện, \(B \ge 408\):

\(2{x^2} + 60x - 600 \ge 408 \Rightarrow {x^2} + 30x - 504 \ge 0 \Rightarrow \left( {x - 12} \right)\left( {x + 42} \right) \ge 0\)

Mà \(x \ge 0\) nên \(x + 42 > 0\) do đó \(x \ge 12\)

Ta có \(A = \; - 2{x^2} + 40x + 600 = - 2{\left( {x - 10} \right)^2} + 800\;\)

Do \(x \ge 12\;\) nên \(x - 10 \ge 2\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 12\) (TMĐK)

Do đó, để đạt lợi nhuận cao nhất ông An phải giảm giá \(12\;\)lần.

Giá ông An bán 1 tấn cà phê khi đó: \(80\; - \;12\; = \;68\) triệu đồng/tấn.