Một đội thi công dự định lắp đặt \(400\;\)tấm pin năng lượng mặt trời cho một nhà máy trong thời gian nhất định. Thực tế, do thay đổi sang loại pin thế hệ mới nên mỗi ngày đội đã lắp được nhiều hơn dự định \(10\) tấm và chỉ cần lắp \(300\) tấm pin đã đủ điện dùng cho nhà máy. Vì vậy đội đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định \(10\;\)ngày. Tính số tấm pin mà đội lắp đặt mỗi ngày theo dự định.

a) Xét đường tròn \((O)\), ta có \(\widehat {MAN} = {90^{\rm{o}}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra \(\Delta NAE\) vuông tại \(A\) nên ba điểm \(N,A,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(NE\).

\(d \bot MN\) tại \(P\) nên $\widehat{NPE}={90}^{°}$

Suy ra \(\Delta NPE\) vuông tại \(P\) nên ba điểm \(N,P,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(NE\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(N,A,P,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(NE\) hay tứ giác \(NAEP\) nội tiếp đường tròn đường kính \(NE\).

b) Chứng minh được \(\widehat {APE} = \widehat {ANE}\)

Hoặc chứng minh được \(\widehat {AMK} = \widehat {ANK}\)

Chứng minh \(\widehat {APE} = \widehat {AMK}\)

Xét \(\Delta PNF\) và \(\Delta PEM\) có:

$\widehat{FPN}=\widehat{MPE}={90}^{°}$ (\(d \bot MN\)).

\(\widehat {PFN} = \widehat {PME}\) (cùng phụ với góc \(\widehat {PNF}\)\().\)

(g.g)

\( \Rightarrow \frac{{PN}}{{PE}} = \frac{{PF}}{{PM}}\)

\( \Rightarrow PM \cdot PN = PE \cdot PF\) (đpcm).

c)

Chứng minh\(\widehat {APE} = \widehat {ANE}\); \(\widehat {KPE} = \widehat {KME}\) và \(\widehat {KMA} = \widehat {KNA}\) suy ra \(\widehat {KPE} = \widehat {APE}\) hay \(PE\;\)là tia phân giác của góc \(\widehat {KPA}\)

+ Chứng minh \[\widehat {SKM} = \widehat {ANM}\] (do tứ giác \(KMNA\) nội tiếp).

Chứng minh \[\widehat {MKP} = \widehat {MEP} = \widehat {MNA}\]

Suy ra \[\widehat {MNA} = \widehat {SKM} = \widehat {MKP} = \frac{1}{2}\widehat {SKP}\]

Mà \(\widehat {MNA} = \frac{1}{2}\widehat {MOA}\) nên \(\widehat {SKP} = \widehat {MOA}\)

+ \(\widehat {KPE} = \widehat {APE}\)nên \(\widehat {KPS} = \widehat {APO}\)

.

Chứng minh \( \Rightarrow \frac{{PM}}{{PA}} = \frac{{PK}}{{PN}} \Rightarrow PM \cdot PN = PA \cdot PK\)

Suy ra \(PM \cdot PN = PS \cdot PO\).

Mà \(PE \cdot PF = PM \cdot PN\) (câu b)

\( \Rightarrow PE \cdot PF = PS \cdot PO \Rightarrow \frac{{PE}}{{PO}} = \frac{{PS}}{{PF}}\).

Chứng minh được (c.g.c).

\( \Rightarrow \widehat {PSE} = \widehat {PFO}\). Vì $\widehat{PFO}+\widehat{POF}={90}^{°}$nên $\widehat{PSE}+\widehat{POF}={90}^{°}\Rightarrow SE\perp FO$

Gọi \(x\;\)là số lần ông An giảm giá (\(x \ge 0\)).

Ông An bán 1 tấn cà phê với giá : \(80\; - \;x\) (triệu đồng).

Tiền lãi khi bán 1 tấn cà phê là: \(80 - x - 50 = 30 - x\) (triệu đồng)

Số lượng cà phê ông An bán được: \(20\; + \;2x\) (tấn).

Lợi nhuận của ông An là:

\(A = (30 - x)(20 + 2x)\)\( = - 2{x^2} + 40x + 600\)(triệu đồng)

Mỗi tấn cà phê công ty B lãi: \(100\; - \;\left( {80 - x} \right) = 20 + x\) (triệu đồng)

Doanh thu của công ty B là \(\left( {20 + x} \right)\left( {20 + 2x} \right)\) (triệu đồng)

Lợi nhuận của Công ty B là: \(B = (20 + x)(20 + 2x) - 1000 = 2{x^2} + 60x - 600\)(triệu đồng)

Theo điều kiện, \(B \ge 408\):

\(2{x^2} + 60x - 600 \ge 408 \Rightarrow {x^2} + 30x - 504 \ge 0 \Rightarrow \left( {x - 12} \right)\left( {x + 42} \right) \ge 0\)

Mà \(x \ge 0\) nên \(x + 42 > 0\) do đó \(x \ge 12\)

Ta có \(A = \; - 2{x^2} + 40x + 600 = - 2{\left( {x - 10} \right)^2} + 800\;\)

Do \(x \ge 12\;\) nên \(x - 10 \ge 2\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 12\) (TMĐK)

Do đó, để đạt lợi nhuận cao nhất ông An phải giảm giá \(12\;\)lần.

Giá ông An bán 1 tấn cà phê khi đó: \(80\; - \;12\; = \;68\) triệu đồng/tấn.