Câu hỏi:

28/05/2026 145

Cho hai biểu thức $A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}$ và $B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 4}}$ (với $x \ge 0;x \ne 4$).

1) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 9$.

2) Chứng minh $B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}$.

3) Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $\frac{B}{A} \le \frac{{x - \sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 Trường THCS Nguyễn Tri Phương (Hà Nội) tháng 5/2026 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

1) Thay $x = 9$ (TMĐK) vào A ta có:

$A = \frac{{\sqrt 9 + 2}}{{\sqrt 9 + 1}} = \frac{5}{4}$.

Vậy khi $x = 9$ thì $A = \frac{5}{4}$.

2) $B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 4}}$

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{x + 2\sqrt x + 3\sqrt x + 6 - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\]

$ = \frac{{x + 4\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$ = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$ $ = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}$.

3) Ta có: $\frac{B}{A} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}$. $\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} \le \frac{{x - \sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}$

$\frac{{x - \sqrt x + 2 - \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x - 2}} \ge 0$

$\frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} \ge 0$

$\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 2}} \ge 0$.

Vì ${(\sqrt x - 1)^2} \ge 0$ với mọi $x \ge 0$ nên xét 2 TH.

* Trường hợp 1: ${\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 0$ hay $x = 1$ (TMĐK).

* Trường hợp 2: $\sqrt x - 2 > 0$ hay $x > 4$ (TMĐK).

Vậy $x = 1$ hoặc $x > 4$ thì $\frac{B}{A} \le \frac{{x - \sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}}$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Từ điểm \[A\] nằm bên ngoài đường tròn \[\left( O \right),\] kẻ hai tiếp tuyến \[AB,\,\,AC\] với đường tròn \[\left( O \right)\] \[(B,\,\,C\] là hai tiếp điểm).

(a) Chứng minh tứ giác \[ABOC\] là tứ giác nội tiếp.

(b) Vẽ đường kính BD của đường tròn \[\left( O \right).\] Gọi \[E\] là giao điểm thứ hai của đường thẳng \[AD\] và đường tròn \[\left( O \right).\] Đường thẳng \[BC\] và đường thẳng \[AO\] cắt nhau tại \[H.\]

Chứng minh \[AH \cdot AO = A{B^2}\] và $\widehat {OHD} = \widehat {AHE}.$

(c) Tia \[CE\] cắt \[AH\] tại \[M\]. Chứng minh \[M\] là trung điểm của đoạn thẳng \[HA.\]

Xem đáp án

Lời giải

Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (O) (B,C là hai tiếp điểm). (a) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp. (ảnh 1)

a) Giải thích $\Delta ABO$ vuông tại B, $\Delta ACO$ vuông tại C

Xét $\Delta ABO$ vuông tại B nội tiếp đường tròn đường kính \[AO\]

Suy ra 3 điểm \[B,\,\,A,\,\,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO\] (1)

Xét $\Delta ACO$ vuông tại C nội tiếp đường tròn đường kính \[AO\]

Suy ra 3 điểm \[A,\,\,C,\,\,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[A,\,\,B,\,\,O,\,\,C\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO\]

Vậy ABOC là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh: OA vuông góc với BC

Chứng minh (gg)

Suy ra $A{B^2} = AH.AO$

Chứng minh suy ra $\widehat {AHE} = \widehat {ODA}$

Chứng minh $OH.OA = O{B^2} = O{D^2}$

Chứng minh suy ra $\widehat {OHD} = \widehat {ODA}$=> $\hat{O H D}$ = $\hat{A H E}$

c) Chứng minh suy ra $\frac{{CH}}{{DC}} = \frac{{HA}}{{CB}}$

Chứng minh $\widehat {DEC} = \widehat {DBC} = \widehat {BAO} = \widehat {HEB}$

Chứng minh $\widehat {HEC} = 90^\circ $ suy ra $\widehat {MHE} = \widehat {HCM}$

Chứng minh $\widehat {HDC} = \widehat {DHO} = \widehat {MHE} = \widehat {MCH}$

Chứng minh suy ra $\frac{{CH}}{{DC}} = \frac{{HM}}{{CH}}$

Suy ra $\frac{{HA}}{{CB}} = \frac{{HM}}{{CH}}$, mà \[BC = 2CH\] nên \[HA = 2HM\] suy ra \[M\] là trung điểm \[HA.\]

Câu 2

Một doanh nghiệp sản xuất áo phông có tổng chi phí là 300 triệu đồng/tháng. Giá bán của mỗi chiếc áo là 210 nghìn đồng. Hỏi trung bình mỗi tháng, doanh nghiệp phải bán được ít nhất bao nhiêu chiếc áo phông để thu được lợi nhuận không dưới 60 triệu đồng mỗi tháng?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số áo bán được mỗi tháng là $x$ (chiếc, $x \in \mathbb{N}*).$

Số tiền thu được là: $0,21x$ (triệu đồng).

Số tiền lãi một tháng là: $0,21x - 300$ (triệu đồng)

Để thu được lợi nhuận không dưới 60 triệu đồng mỗi tháng, ta có bất phương trình: \[0,21x - 300 \ge 60\] nên \[x \ge \frac{{12\,\,000}}{7}.\]

Vì $x \in \mathbb{N}*$ nên $x \ge 1715$

Vậy mỗi tháng cần bán được ít nhất là 1715 chiếc áo.

Câu 3