Một người đi xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B. Sau đó 16 phút có một ô tô đi từ B về A với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 15 km/h. Xe máy gặp ô tô ở một địa điểm cách B 24 km/h. Tính vận tốc của ô tô, biết rằng quãng đường AB dài 54 km/h.

a) Vì \(BE,{\rm{ }}CF\) là hai đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(BE \bot AC,\,\,CF \bot AB\left( {E \in AC,\,\,F \in AB} \right)\) suy ra \(\widehat {BEC} = \widehat {BFC} = 90^\circ .\)

Từ đó chứng minh được bốn điểm \(B,C,E,F\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\) hay tứ giác \(BCEF\) nội tiếp thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

Chứng minh được \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) đồng dạng.

Suy ra: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) nên \(AE.AC = AF.AB\).

b) Gọi \(G\)là giao điểm của \(AP\) và \[FE.\]

Chứng minh: \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC} = \widehat {APC}\)

Chứng minh: \(\Delta AEG\)và \(\Delta APC\) đồng dạng.

Suy ra: \(\widehat {AGE} = \widehat {ACP} = 90^\circ \). Do đó \(AP \bot EF\) tại \(G.\)

Chứng minh \(IF = IE = \frac{{AH}}{2} \Rightarrow \Delta IEF\) cân tại \(I.\)

Mà \(IK\) là đường trung tuyến của \(\Delta IEF\) (do \(I\) là trung điểm của \[EF\]) nên \(IK\) đồng thời là đường cao của \(\Delta IEF\) suy ra \(IK \bot EF\).

Lại có: \(AP \bot EF\)(cmt) nên \(IK\,{\rm{//}}\,AP\) (đpcm)

c) Gọi \(D\) là giao điểm của \(AH\)và \(BC.\)

Chứng minh \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC,\) suy ra \(AH \bot BC\) tại \(D\)

Chứng minh tứ giác \(BHCP\) là hình bình hành. Suy ra 3 điểm \(H,M,P\) thẳng hàng.

Mà 3 điểm \(H,M,N\) thẳng hàng ( gt) nên 4 điểm \(H,M,N,P\) thẳng hàng.

Từ đó chứng minh được \(\widehat {ANM} = \widehat {ANP} = 90^\circ \) (do \(\widehat {ANP} = 90^\circ \) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Chứng minh tứ giác \(ANDM\)nội tiếp đường tròn đường kính \(AM.\)

Suy ra: \(\widehat {NAD} = \widehat {NMD}\)( hai góc nội tiếp cùng chắn hay \(\widehat {HMB} = \widehat {NAH}.\)

Xét phương trình bậc hai: \({x^2} + x - 2 = 0{\rm{ }}(a = 1;b = 1;c = - 2)\)

Vì \(\Delta = 9 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\)

Áp dụng định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 1\\{x_1}.{x_2} = - 2\end{array} \right.\).

Vì \({x_2}\) là nghiệm của phương trình đã cho nên \(x_2^2 + {x_2} - 2 = 0\)

Suy ra \(\sqrt { - 3{x_2} + 3} = \sqrt {( - 3{x_2} + 3) + (x_2^2 + {x_2} - 2)} = \sqrt {x_2^2 - 2{x_2} + 1} = \sqrt {{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}} = \left| {{x_2} - 1} \right|\)

Từ hệ thức Viète suy ra \({x_1};{x_2}\) trái dấu nhau mà \({x_1} > {x_2}\) nên \({x_1} > 0;{x_2} < 0\)

\(3\left| {{x_1}} \right| = 3{x_1};4\left| {{x_2}} \right| = - 4{x_2};{x_2} - 1 < 0\) suy ra \(\left| {{x_2} - 1} \right| = 1 - {x_2}\)

\(M = 3{x_1} + 4{x_2} + 1 - {x_2} = 3{x_1} + 3{x_2} + 1 = 3({x_1} + {x_2}) + 1 = 3.( - 1) + 1 = - 2.\)