Bán kính của đường tròn đi qua bốn đỉnh của hình vuông \(MNPQ\) có \(MN = 4\sqrt 2 {\rm{ cm}}\) là

Rút gọn biểu thức \(P = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{2\sqrt x + 1}}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)\left( {1 - \frac{5}{{\sqrt x + 1}}} \right)\) với \(x > 0;x \ne 1\).

Một đồ chơi bằng đồng dạng một khối nón đặc có khối lượng riêng bằng \(8,96\,\,\left( {g/c{m^3}} \right)\), có khối lượng bằng \(448\,\,\left( g \right)\) và có bán kính đáy bằng \(5\,cm\). Biết công thức tính khối lượng của một vật là \(P = V.D\), trong đó \(P\) là khối lượng của vật (đơn vị \(g\)), \(V\) là thể tích của vật (đơn vị \(c{m^3}\)) và \(D\) là khối lượng riêng của vật (đơn vị \(g/c{m^3}\)).

(a) Thể tích của khối đồ chơi bằng bao nhiêu \(c{m^3}\)?

(b) Tính diện tích bề mặt xung quanh của khối đồ chơi hình nón đó theo đơn vị \(c{m^2}\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Giả sử giá tiền điện hàng tháng được tính theo bậc thang như sau:

Bậc 1: Từ \(1\,{\rm{kWh}}\) đến \(100\,{\rm{kWh}}\) thì giá điện là: \(1500\) đồng/kWh.

Bậc 2: Từ \(101\,{\rm{kWh}}\) đến \(150\,\,{\rm{kWh}}\) thì giá điện là: \(2000{\kern 1pt} \) đồng/kWh.

Bậc 3: Từ \(151\,\,{\rm{kWh}}\) trở lên thì giá điện là: \(4000{\kern 1pt} {\kern 1pt} \)đồng/kWh.

Trong tháng 2 tổng số tiền điện của nhà bạn A và bạn B là \(560\,\,000\) đồng. So với tháng 2 thì tháng 3 tiền điện của nhà bạn A tăng \(30\% \), nhà bạn B tăng \(20\% \), do đó tổng số tiền của cả hai nhà trong tháng 3 là \(701\,\,000\) đồng. Hỏi tháng 2 nhà bạn A phải trả bao nhiêu tiền điện và dùng hết bao nhiêu \({\rm{kWh}}\)? (biết rằng số tiền điện ở trên không tính thuế giá trị gia tăng).

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình: \({x^2} - 4x + m - 1 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1}{\rm{; }}{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(2x_1^2 + x_2^2 + 4{x_2} + 4{x_1}{x_2} = 19\).

Một hộp có \[30\] viên bi với kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Hưng viết lên các viên bi đó các số \[1,\;2,\;3....,30\]; hai viên bi khác nhau thì viết hai số khác nhau. Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp”. Tính xác suất biến cố: “Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia \[7\] dư \[1\]”.

Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\). Trên đường tròn đã cho lấy điểm \(A\) cố định (\(A\) khác \(B\) và \(C\)) và lấy điểm \(D\) thay đổi trên cung nhỏ \(AC\) (\(D\) khác \(A\) và \(C\)). Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC\) (\(H\) thuộc \(BC\)). Hai đường thẳng \(BD\) và \(AH\) cắt nhau tại \(I\).

(a) Chứng minh rằng tứ giác \(IHCD\) là tứ giác nội tiếp.

(b) Chứng minh rằng \(A{B^2} = BI \cdot BD\).

(c) Lấy điểm \(M\) trên đoạn thẳng \(BC\) sao cho \(BM = AB\). Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta MID\) luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi \(D\) thay đổi trên cung nhỏ \(AC\).

Người ta muốn làm một vườn rau có dạng hình chữ nhật \(ABCD\) có diện tích \(640{m^2}\), để tạo thêm cảnh quan xung quanh đẹp hơn, người ta mở rộng thêm bốn phần diện tích để trồng hoa, tạo thành một đường tròn đi như hình vẽ, biết tâm hình tròn trùng với giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật. Khi đó chọn kích thước cạnh \(ABCD\) như thế nào để diện tích của bốn phần đất trồng hoa nhỏ nhất?